N3 Determina todas las cuádruplas ( $x, y, z, t$ ) de enteros positivos, tales que $12^x + 13^y - 14^z = 2013^t$ .

1 Decimos que un triángulo $ABC$ es genial si se cumple lo siguiente: para cualquier punto $D$ sobre el lado $BC$, si $P$ y $Q$ son los pies de las perpendiculares desde $D$ a las rectas $AB$ y $AC$, respectivamente, entonces la reflexión de $D$ en la recta $PQ$ yace sobre la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$. Demuestra que el triángulo $ABC$ es genial si y solo si $\angle A = 90^{\circ}$ y $AB = AC$. Comité Senior de Problemas del Comité Australiano de Olimpiadas Matemáticas

1 Sea $S$ un conjunto de $9$ enteros distintos cuyos factores primos son todos a lo sumo $3.$ Demuestra que $S$ contiene $3$ enteros distintos cuyo producto es un cubo perfecto. N.T.TUAN

4 Sean $x; y$ y $z$ números reales positivos tales que $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}= 1$ . Demuestra que $\frac{x^{2}+yz}{\sqrt{2x^{2}(y+z)}}+\frac{y^{2}+zx}{\sqrt{2y^{2}(z+x)}}+\frac{z^{2}+xy}{\sqrt{2z^{2}(x+y)}}\geq 1.$ N.T.TUAN

3 Sean $AB$ y $AC$ dos rayos distintos que no están sobre la misma recta, y sea $\omega$ una circunferencia con centro $O$ que es tangente al rayo $AC$ en $E$ y al rayo $AB$ en $F$. Sea $R$ un punto sobre el segmento $EF$. La recta que pasa por $O$ paralela a $EF$ interseca a la recta $AB$ en $P$. Sea $N$ la intersección de las rectas $PR$ y $AC$, y sea $M$ la intersección de la recta $AB$ con la recta que pasa por $R$ paralela a $AC$. Demuestra que la recta $MN$ es tangente a $\omega$. Warut Suksompong, Tailandia

2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $\angle{BAC}=60^\circ$ y $AB > AC$. Sea $I$ el incentro, y $H$ el ortocentro del triángulo $ABC$. Demuestra que $2\angle{AHI}= 3\angle{ABC}$. N.T.TUAN

4 El país Dreamland consta de $2016$ ciudades. La aerolínea Starways quiere establecer algunos vuelos de un solo sentido entre pares de ciudades de tal manera que cada ciudad tenga exactamente un vuelo de salida. Encuentra el entero positivo más pequeño $k$ tal que, sin importar cómo Starways establezca sus vuelos, las ciudades siempre se puedan dividir en $k$ grupos de modo que desde cualquier ciudad no sea posible llegar a otra ciudad del mismo grupo usando a lo sumo $28$ vuelos. Warut Suksompong, Tailandia

3 Considera $n$ discos $C_{1}; C_{2}; ... ; C_{n}$ en un plano tales que para cada $1 \leq i < n$, el centro de $C_{i}$ está sobre la circunferencia de $C_{i+1}$, y el centro de $C_{n}$ está sobre la circunferencia de $C_{1}$. Define el puntaje de tal arreglo de $n$ discos como el número de pares $(i; j)$ para los cuales $C_{i}$ contiene propiamente a $C_{j}$. Determina el puntaje máximo posible. N.T.TUAN

5 Encuentra todas las funciones \( f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+ \) tales que $$(z + 1)f(x + y) = f(xf(z) + y) + f(yf(z) + x),$$ para todos los números reales positivos \( x, y, z \). Fajar Yuliawan, Indonesia

2 Sea $ r$ un número real tal que la sucesión $ (a_{n})_{n\geq 1}$ de números reales positivos satisface la ecuación $ a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{m + 1} \leq r a_{m}$ para cada entero positivo $ m$ . Demuestra que $ r \geq 4$ .