1 Halle todos los polinomios con coeficientes reales $P$ tales que \[ P(x)P(2x^2-1)=P(x^2)P(2x-1)\] para todo $x\in\mathbb{R}$ .

2 Sea $n$ un entero positivo. Demuestre que la ecuación \[x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=3n\] no tiene soluciones en números racionales positivos.

1 Sea $n\ge 2$ un entero positivo. Halle el número de funciones $f:\{1,2,\ldots ,n\}\rightarrow\{1,2,3,4,5 \}$ que tienen la siguiente propiedad: $|f(k+1)-f(k)|\ge 3$ , para cualquier $k=1,2,\ldots n-1$ . Vasile Pop

3 Sean $ p$ y $ q$ enteros positivos primos relativos. Un subconjunto $ S$ de $ \{0, 1, 2, \ldots \}$ se llama ideal si $ 0 \in S$ y para cada elemento $ n \in S,$ los enteros $ n + p$ y $ n + q$ pertenecen a $ S.$ Determine el número de subconjuntos ideales de $ \{0, 1, 2, \ldots \}.$

1 Halle todos los pares $\left(m,n\right)$ de enteros positivos, con $m,n\geq2$ , tales que $a^n-1$ es divisible por $m$ para cada $a\in \left\{1,2,3,\ldots,n\right\}$ .

2 Demuestre que no existe ninguna función $f:(0,\infty )\rightarrow (0,\infty)$ tal que \[f(x+y)\ge f(x)+yf(f(x)) \] para todo $x,y\in (0,\infty )$ .

2 Sea ABC un triángulo y sea $M$ un punto interior. Demuestre que \[ \min\{MA,MB,MC\}+MA+MB+MC<AB+AC+BC.\]

1 Demuestre que la ecuación $x^3+y^3+z^3=t^4$ tiene infinitas soluciones en enteros positivos tales que $\gcd(x,y,z,t)=1$ . Mihai Pitticari & Sorin Rǎdulescu Amir

3 Demuestre que para cualesquiera enteros positivos $n$ y $k$ existen enteros positivos $a>b>c>d>e>k$ tales que \[n=\binom{a}{3}\pm\binom{b}{3}\pm\binom{c}{3}\pm\binom{d}{3}\pm\binom{e}{3}\] Radu Ignat Max D.R.

4 Sea $P_1P_2\ldots P_n$ un polígono convexo en el plano. Suponemos que para cualquier elección arbitraria de vértices $P_i,P_j$ existe un vértice del polígono $P_k$ distinto de $P_i,P_j$ tal que $\angle P_iP_kP_j=60^{\circ}$ . Demuestre que $n=3$ . Radu Todor