4 Halle todos los enteros positivos $ n$ tales que existe un único entero $ a$ con $ 0\leq a < n!$ que cumple la siguiente propiedad: \[ n!\mid a^n + 1 \] Propuesto por Carlos Caicedo, Colombia Nima Ahmadi

6 Sean $a$ , $b$ enteros positivos tales que $b^n+n$ es un múltiplo de $a^n+n$ para todos los enteros positivos $n$ . Demuestre que $a=b$ . Propuesto por Mohsen Jamali, Irán

2 Las diagonales de un rectángulo $ABCD$ se cortan en el punto $E$ . Una circunferencia centrada en $E$ se encuentra dentro del rectángulo. Sean $CF$ , $DG$ , $AH$ las tangentes a esta circunferencia trazadas desde $C$ , $D$ , $A$ ; sea $I$ la intersección de $CF$ y $DG$ , sea $J$ la intersección de $EI$ y $AD$ , y sea $L$ la intersección de $AH$ y $CF$ . Demuestre que $LJ$ es perpendicular a $AD$ .

7 Sea $P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{0}$ , donde $a_{0},\ldots,a_{n}$ son enteros, $a_{n}>0$ , $n\geq 2$ . Demuestre que existe un entero positivo $m$ tal que $P(m!)$ es un número compuesto. Yimin

A6 Sea $\mathbb R$ el conjunto de los números reales. Denotamos por $\mathcal F$ el conjunto de todas las funciones $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ tales que $$f(x + f(y)) = f(x) + f(y)$$ para todo $x,y\in\mathbb R$ . Halle todos los números racionales $q$ tales que para toda función $f\in\mathcal F$ , existe algún $z\in\mathbb R$ que satisface $f(z)=qz$ .

1 En el triángulo $ABC$ la circunferencia inscrita toca a los lados $BC$ , $CA$ y $AB$ en los puntos $A_1$ , $B_1$ y $C_1$ , respectivamente. Denote los ortocentros de los triángulos $AC_1B_1$ y $CA_1B_1$ por $H_1$ y $H_2$ . Demuestre que el cuadrilátero $AH_1H_2C$ es cíclico.

A3 Sea $\mathbb{R}^+$ el conjunto de los números reales positivos. Halle todas las funciones $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ tales que para cada $x \in \mathbb{R}^+$ , existe exactamente un $y \in \mathbb{R}^+$ que satisface $$xf(y)+yf(x) \leq 2$$

4 En una tabla de dimensiones $2n \times 2n$ hay enteros positivos no mayores que $10$ , tales que los números que se encuentran en casillas unitarias con un vértice común son coprimos. Demuestre que existe al menos un número que aparece en la tabla al menos $\frac{2n^2}{3}$ veces

Determine todos los enteros positivos $n$ que satisfacen: $n^2$ tiene al menos $4$ divisores positivos. Si $1=d_1<d_2<d_3<d_4$ son los primeros cuatro divisores positivos de $n^2$ , entonces \[ \frac1{d_2}=\frac1{d_3}+\frac1{d_4}+\frac1n. \]

A2 Sea $k\ge2$ un entero. Halle el menor entero $n \ge k+1$ con la propiedad de que existe un conjunto de $n$ números reales distintos tal que cada uno de sus elementos puede escribirse como suma de $k$ otros elementos distintos del conjunto.