4. Encuentra el mayor entero positivo $n$, menor que $2012$, que tenga la siguiente propiedad: Si $p$ es un divisor primo de $n$, entonces $p^2 - 1$ es un divisor de $n$.

G5 Sea $ABC$ ( $BC > AC$ ) un triángulo acutángulo con circunferencia circunscrita $k$ centrada en $O$ . La tangente a $k$ en $C$ interseca a la recta $AB$ en el punto $D$ . Las circunferencias circunscritas de los triángulos $BCD, OCD$ y $AOB$ intersecan al rayo $CA$ (más allá de $A$ ) en los puntos $Q, P$ y $K$ , respectivamente, de modo que $P \in (AK)$ y $K \in (PQ)$ . La recta $PD$ interseca a la circunferencia circunscrita del triángulo $BKQ$ en el punto $T$ , de manera que $P$ y $T$ están en semiplanos distintos respecto a $BQ$ . Demuestra que $TB = TQ$ .

G4 Dado un triángulo acutángulo $ABC$, sea $M$ el punto medio de $BC$ y $H$ el ortocentro. Sea $\Gamma$ la circunferencia con diámetro $HM$, y sean $X,Y$ puntos distintos en $\Gamma$ tales que $AX,AY$ son tangentes a $\Gamma$. Demuestra que $BXYC$ es cíclico.

Sea $AD, BE$ y $CF$ las alturas del triángulo $\vartriangle ABC$. Los puntos $E'$ y $F'$ son las reflexiones de $E$ y $F$ respecto a $AD$, respectivamente. Las rectas $BF'$ y $CE'$ se cortan en $X$, mientras que las rectas $BE'$ y $CF'$ se cortan en el punto $Y$. Demuestra que si $H$ es el ortocentro de $\vartriangle ABC$, entonces las rectas $AX$, $YH$ y $BC$ son concurrentes.

N2 Sea $S \subset \{ 1, \dots, n \}$ un conjunto no vacío, donde $n$ es un entero positivo. Denotamos por $s$ al máximo común divisor de los elementos del conjunto $S$. Suponemos que $s \neq 1$ y sea $d$ su divisor más pequeño mayor que $1$. Sea $T \subset \{ 1, \dots, n \}$ un conjunto tal que $S \subset T$ y $|T| \ge 1 + \left[ \frac{n}{d} \right]$. Demuestra que el máximo común divisor de los elementos de $T$ es $1$. [Segunda versión] Sea $n(n \ge 1)$ un entero positivo y $U = \{ 1, \dots, n \}$. Sea $S$ un subconjunto no vacío de $U$ y sea $d (d \neq 1)$ el divisor común más pequeño de todos los elementos del conjunto $S$. Encuentra el entero positivo más pequeño $k$ tal que para cualquier subconjunto $T$ de $U$, que conste de $k$ elementos, con $S \subset T$, el máximo común divisor de todos los elementos de $T$ sea igual a $1$.

1 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con alturas $AD$, $BE$ y $CF$, y sea $O$ el centro de su circunferencia circunscrita. Demuestra que los segmentos $OA$, $OF$, $OB$, $OD$, $OC$, $OE$ dividen al triángulo $ABC$ en tres pares de triángulos que tienen áreas iguales.

4 Sean $a$ y $b$ enteros positivos, y sean $A$ y $B$ conjuntos finitos de enteros que satisfacen (i) $A$ y $B$ son disjuntos; (ii) si un entero $i$ pertenece a $A$ o a $B$, entonces o bien $i+a$ pertenece a $A$ o bien $i-b$ pertenece a $B$. Demuestra que $a\left\lvert A \right\rvert = b \left\lvert B \right\rvert$. (Aquí $\left\lvert X \right\rvert$ denota el número de elementos del conjunto $X$.)

Para $2k$ números reales $a_1, a_2, ..., a_k$, $b_1, b_2, ..., b_k$ define una sucesión de números $X_n$ mediante \[ X_n = \sum_{i=1}^k [a_i n + b_i] \quad (n=1,2,...). \] Si la sucesión $X_n$ forma una progresión aritmética, demuestra que $\textstyle\sum_{i=1}^k a_i$ debe ser un entero. Aquí $[r]$ denota el mayor entero menor o igual que $r$.

2 Determina todos los enteros positivos \(n\) para los cuales \(\dfrac{n^2+1}{[\sqrt{n}]^2+2}\) es un entero. Aquí \([r]\) denota el mayor entero menor o igual que \(r\).

G3 Sea $ABC$ un triángulo escaleno y acutángulo con circuncentro $O$. Sea $\omega$ la circunferencia con centro $A$, tangente a $BC$ en $D$. Supón que hay dos puntos $F$ y $G$ en $\omega$ tales que $FG \perp AO$, $\angle BFD = \angle DGC$ y los pares de puntos $(B,F)$ y $(C,G)$ están en semiplanos distintos respecto a la recta $AD$. Muestra que las tangentes a $\omega$ en $F$ y $G$ se cortan sobre la circunferencia circunscrita de $ABC$.