C3 El Banco de Bath emite monedas con una $H$ en un lado y una $T$ en el otro. Harry tiene $n$ de estas monedas dispuestas en una línea de izquierda a derecha. Repite la siguiente operación: si hay exactamente $k>0$ monedas mostrando $H$ , entonces voltea la moneda $k$ -ésima desde la izquierda; de lo contrario, todas las monedas muestran $T$ y se detiene. Por ejemplo, si $n=3$ el proceso que comienza con la configuración $THT$ sería $THT \to HHT \to HTT \to TTT$ , que se detiene después de tres operaciones. (a) Demuestre que, para cada configuración inicial, Harry se detiene después de un número finito de operaciones. (b) Para cada configuración inicial $C$ , sea $L(C)$ el número de operaciones antes de que Harry se detenga. Por ejemplo, $L(THT) = 3$ y $L(TTT) = 0$ . Determine el valor promedio de $L(C)$ sobre todas las $2^n$ configuraciones iniciales posibles $C$ . Propuesto por David Altizio, EE. UU.

1 Sean $a_1,\ldots,a_n$ y $b_1\ldots,b_n$ $2n$ números reales. Demuestra que existe un entero $k$ con $1\le k\le n$ tal que $ \sum_{i=1}^n|a_i-a_k| ~~\le~~ \sum_{i=1}^n|b_i-a_k|.$ (Propuesto por Gerhard Woeginger, Austria)

1 Se han marcado $2009$ puntos sobre una circunferencia. Lucía los colorea con $7$ colores distintos a su elección. Luego Ivan puede unir tres puntos del mismo color, formando así triángulos monocromáticos. Los triángulos no pueden tener puntos en común; ni siquiera vértices en común. El objetivo de Ivan es dibujar la mayor cantidad posible de triángulos monocromáticos. El objetivo de Lucía es dificultar lo más posible la tarea de Iván mediante una buena elección de colores. ¿Cuántos triángulos monocromáticos obtendrá Ivan si ambos hacen su tarea lo mejor posible?

1 Para los números naturales $a, b c$ se cumple que $(a + b + c)^2 | ab (a + b) + bc (b + c) + ca(c + a) + 3abc$ . Demuestre que $(a + b + c) |(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2$

3 Sea $ABC$ un triángulo con $\angle A = 90^o, \angle B = 75^o$ y $AB = 2$ . Los puntos $P$ y $Q$ sobre los lados $AC$ y $BC$ respectivamente son tales que $\angle APB = \angle CPQ$ y $\angle BQA = \angle CQP$ . Calcule la medida del segmento $QA $ .

1 Para $k=1,2,\ldots ,2011$ denotamos $S_k=\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}+\cdots +\frac{1}{2011}$ . Calcule la suma $S_1+S_1^2+S_2^2+\cdots +S_{2011}^2$ .

6 En cada casilla de un tablero de $2012\times 2012$ hay una persona. Las personas son o bien honestas, que siempre dicen la verdad, o bien mentirosas, que siempre mienten. En un momento dado, cada persona hace la misma afirmación: "En mi fila hay la misma cantidad de mentirosos que en mi columna." Determine el número mínimo de personas honestas que puede haber en el tablero.

5 Halle todos los enteros $n$ tales que $1<n<10^6$ y $n^3-1$ es divisible por $10^6 n-1$ .

5 Se escriben $21$ números en una fila. $u,v,w$ son tres números consecutivos tales que $v=\frac{2uw}{u+w}$ . El primer número es $\frac{1}{100}$ y el último es $\frac{1}{101}$ . Halle el número $15$ .

A6 Halle todas las funciones $f : \mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ que satisfacen \[f^{a^{2} + b^{2}}(a+b) = af(a) +bf(b)\] para todos los enteros $a$ y $b$