12 $ T$ es un subconjunto de $ {1,2,...,n}$ que tiene esta propiedad : para todos los $ i,j \in T$ distintos , $ 2j$ no es divisible por $ i$ . Demuestre que : $ |T| \leq \frac {4}{9}n + \log_2 n + 2$

3 Suponga que $ T$ es un árbol con $ k$ aristas. Demuestre que el cubo de dimensión $ k$ puede particionarse en grafos isomorfos a $ T$ . Omid

1 Halle todas las funciones $ f: \mathbb R\longrightarrow \mathbb R$ tales que para cada $ x,y\in\mathbb R$ : \[ f(xf(y)) + y + f(x) = f(x + f(y)) + yf(x)\] Omid

2 Suponga que $ I$ es el incentro del triángulo $ ABC$ y $ l'$ es una recta tangente a la circunferencia inscrita. Sea $ l$ otra recta que interseca a $ AB,AC,BC$ respectivamente en $ C',B',A'$ . Trazamos una tangente desde $ A'$ a la circunferencia inscrita distinta de $ BC$ , y esta recta interseca a $ l'$ en $ A_1$ . $ B_1,C_1$ se definen de manera similar. Demuestre que $ AA_1,BB_1,CC_1$ son concurrentes. Omid

8 Halle todos los polinomios $ P(x,y)$ tales que para todos los reales $ x$ y $y$ , \[P(x^{2},y^{2}) =P\left(\frac {(x + y)^{2}}{2},\frac {(x - y)^{2}}{2}\right).\]

2 Sea $A$ el mayor subconjunto de $\{1,\dots,n\}$ tal que para cada $x\in A$ , $x$ divide a lo sumo a otro elemento de $A$ . Demuestre que \[\frac{2n}3\leq |A|\leq \left\lceil \frac{3n}4\right\rceil. \] Omid

1 Halle todos los polinomios de grado 3, tales que para cada $x,y\geq 0$ : \[p(x+y)\geq p(x)+p(y)\] Omid

2 Suponga que $n$ rectas en el plano son tales que no hay dos paralelas y no hay tres concurrentes. Para cada dos rectas, su ángulo es un número real en $[0,\frac{\pi}2]$ . Halle el mayor valor de la suma de los $\binom n2$ ángulos entre las rectas. Por Aliakbar Daemi Omid

1 ¿Existe una sucesión $a_{0},a_{1},a_{2},\dots$ en $\mathbb N$ , tal que para cada $i\neq j, (a_{i},a_{j})=1$ , y para cada $n$ , el polinomio $\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$ sea irreducible en $\mathbb Z[x]$ ? Por Omid Hatami Omid

1 En una mesa de billar con forma de triángulo rectángulo isósceles , una bola comienza a moverse desde uno de los vértices adyacentes a la hipotenusa. Cuando llega a un lado, su trayectoria se refleja. Demuestre que si llegamos a un vértice, entonces no es el vértice de la posición inicial Por Sam Nariman Omid