L1

1 Se da un ángulo agudo $XAY$ y un punto $P$ dentro del ángulo. Construye (con regla y compás) una recta que pase por $P$ y corte los rayos $AX$ y $AY$ en $B$ y $C$ de modo que el área del triángulo $ABC$ sea igual a $AP^2$. Grecia Valentin

1 Los enteros positivos $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_{3030}$ satisfacen $$2a_{n + 2} = a_{n + 1} + 4a_n \text{ para } n = 0, 1, 2, \ldots, 3028.$$ Demuestra que al menos uno de los números $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_{3030}$ es divisible por $2^{2020}$.

2 Sea $ABC$ un triángulo, y sea la tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en $A$ que corta a la recta $BC$ en $D$. La perpendicular a $BC$ en $B$ corta a la mediatriz de $AB$ en $E$. La perpendicular a $BC$ en $C$ corta a la mediatriz de $AC$ en $F$. Demuestra que los puntos $D$, $E$ y $F$ son colineales. Valentin Vornicu Valentin

1 ¿Se pueden encontrar 4004 enteros positivos tales que la suma de cualesquiera 2003 de ellos no sea divisible por 2003? Valentin

3 Encuentra todas las funciones \( f: \mathbb{Q}\to\mathbb{R} \) que cumplen las siguientes condiciones: a) \( f(1)+1>0 \) ; b) \( f(x+y) -xf(y) -yf(x) = f(x)f(y) -x-y +xy \) , para todo \( x,y\in\mathbb{Q} \) ; c) \( f(x) = 2f(x+1) +x+2 \) , para todo \( x\in\mathbb{Q} \) . Valentin

4 Un rectángulo $ABCD$ tiene lados de longitudes $AB = m$, $AD = n$, con $m$ y $n$ primos relativos y ambos impares. Se divide en cuadrados unitarios y la diagonal $AC$ interseca los lados de los cuadrados unitarios en los puntos $A_1 = A, A_2, A_3, \ldots , A_k = C$. Demuestra que \[ A_1A_2 - A_2A_3 + A_3A_4 - \cdots + A_{k-1}A_k = {\sqrt{m^2+n^2}\over mn}. \]

6 Sea $m > 1$ un entero. Una sucesión $a_1, a_2, a_3, \ldots$ está definida por $a_1 = a_2 = 1$, $a_3 = 4$, y para todo $n \ge 4$, $$a_n = m(a_{n - 1} + a_{n - 2}) - a_{n - 3}.$$ Determina todos los enteros $m$ tales que cada término de la sucesión es un cuadrado.

Considera el triángulo \(ABC\) con \(\angle BCA > 90^{\circ}\). La circunferencia circunscrita \(\Gamma\) de \(ABC\) tiene radio \(R\). Hay un punto \(P\) en el interior del segmento \(AB\) tal que \(PB = PC\) y la longitud de \(PA\) es \(R\). La mediatriz de \(PB\) corta a \(\Gamma\) en los puntos \(D\) y \(E\). Demuestra que \(P\) es el incentro del triángulo \(CDE\).

3 Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo tal que $\angle A = \angle C = \angle E$ y $\angle B = \angle D = \angle F$, y las bisectrices (interiores) de los ángulos $\angle A, ~\angle C,$ y $\angle E$ son concurrentes. Demuestra que las bisectrices (interiores) de los ángulos $\angle B, ~\angle D,$ y $\angle F$ también deben ser concurrentes. Nota que $\angle A = \angle FAB$. Los demás ángulos interiores del hexágono se describen de manera similar.