Los puntos $A', B', C', D'$ se eligen respectivamente sobre los lados $AB, BC, CD, DA$ del cuadrilátero cíclico $ABCD$ . Se sabe que $AA' = BB' = CC' = DD'$ y \[\angle AA'D' =\angle BB'A' =\angle CC'B' =\angle DD'C'.\] Demuestre que $ABCD$ es un cuadrado.

Halle todas las funciones $f : \mathbb{Z} \to\mathbb{ Z}$ tales que \[ n^2+4f(n)=f(f(n))^2 \] para todo $n\in \mathbb{Z}$ . Propuesto por Sahl Khan, Reino Unido

Fije enteros positivos $n$ y $k\ge 2$ . Una lista de $n$ enteros está escrita en una fila sobre un pizarrón. Usted puede elegir un bloque contiguo de enteros, y yo sumaré $1$ a todos ellos o restaré $1$ a todos ellos. Usted puede repetir este paso tantas veces como quiera, adaptando posiblemente sus elecciones según lo que yo haga. Demuestre que después de un número finito de pasos, usted puede alcanzar un estado en el que al menos $n-k+2$ de los números del pizarrón son todos simultáneamente divisibles por $k$ .

Halle todos los enteros $k{}$ para los cuales existen infinitas ternas de enteros $(a,b,c)$ tales que \[(a^2-k)(b^2-k)=c^2-k.\]

Sea $M$ un conjunto de $n \ge 4$ puntos en el plano, sin tres de ellos colineales. Inicialmente estos puntos se conectan con $n$ segmentos de modo que cada punto de $M$ sea extremo de exactamente dos segmentos. Luego, en cada paso, uno puede elegir dos segmentos $AB$ y $CD$ que compartan un punto interior común y reemplazarlos por los segmentos $AC$ y $BD$ si ninguno de ellos está presente en ese momento. Demuestre que es imposible realizar $n^3 /4$ o más de tales movimientos. Propuesto por Vladislav Volkov, Rusia

Se da un tablero de ajedrez $2015\times2015$ , cuyas casillas están pintadas de blanco y negro alternadamente de modo que las casillas de las esquinas son negras. Hay $n{}$ trominós en forma de L colocados sobre el tablero, sin que dos de ellos se superpongan y que cubren todas las casillas negras. Halle el menor valor posible de $n{}$ .

Sean $x,y,z$ números reales positivos. Demuestre que \[\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geqslant\frac{z(x+y)}{y(y+z)}+\frac{x(y+z)}{z(z+x)}+\frac{y(z+x)}{x(x+y)}.\]

El barón Munchausen presentó un nuevo teorema: si un polinomio $x^{n} - ax^{n-1} + bx^{n-2}+ \dots$ tiene $n$ raíces enteras positivas, entonces existen $a$ rectas en el plano tales que tienen exactamente $b$ puntos de intersección. ¿Es verdadero el teorema del barón? L.Lawliet03

Sean $a,b,c,d$ números reales positivos que satisfacen $a^2+b^2+c^2+d^2=1$ . Demuestre que \[a^3+b^3+c^3+d^3+abcd\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\right)\leqslant 1.\]

Demuestre que hay infinitos enteros que no pueden escribirse como $$\frac{p^a-p^b}{p^c-p^d}$$ , donde a,b,c,d son enteros arbitrarios y p es un primo arbitrario tal que la fracción también es un entero.