1 Para reales $1\leq a\leq b \leq c \leq d \leq e \leq f$ demuestre la desigualdad $(af + be + cd)(af + bd + ce) \leq (a + b^2 + c^3 )(d + e^2 + f^3 )$ .

1 Determine todos los pares de números reales $(x,y)$ que satisfacen \begin{align*} x^3+9x^2y&=10,\\ y^3+xy^2 &=2. \end{align*}

4 Halle todos los conjuntos de números reales que satisfacen la condición de que junto con cada número $x$ , el conjunto también contiene el número $3|x|-4x^{2}-1$ .

3 En un triángulo $ABC$ tenemos $\angle C>10^0$ y $\angle B=\angle C+10^0.$ Consideramos el punto $E$ en el lado $AB$ tal que $\angle ACE=10^0,$ y el punto $D$ en el lado $AC$ tal que $\angle DBA=15^0.$ Sea $Z\neq A$ un punto de intersección de las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABD$ y $AEC.$ Demuestre que $\angle ZBA>\angle ZCA.$

1 Halle todos los números reales $x, y, z, t$ tales que las siguientes condiciones se cumplen simultáneamente: (a) $x+y+z=1.5$ ; (b) $\sqrt{4x-1}+\sqrt{4y-1}+\sqrt{4z-1}\geqslant2+3^{\sqrt{t-2}}$ .

8 Sea $ ABCD$ un cuadrilátero convexo. Las mediatrices de sus lados $ AB$ y $ CD$ se cortan en $ Y$ . Denote por $ X$ un punto interior del cuadrilátero $ ABCD$ tal que $ \measuredangle ADX = \measuredangle BCX < 90^{\circ}$ y $ \measuredangle DAX = \measuredangle CBX < 90^{\circ}$ . Demuestre que $ \measuredangle AYB = 2\cdot\measuredangle ADX$ .

7 Demuestre que para cualesquiera $a>0,b>0,c>0$ se tiene $8a^2 b^2 c^2 \geq (a^2 + ab + ac - bc)(b^2 + ba + bc - ac)(c^2 + ca + cb - ab)$ .

6 En un triángulo acutángulo, los puntos $ D $ y $ E $ son los pies de las alturas trazadas desde los vértices $ A $ y $ B $ , respectivamente, $ AC> BC $ y $ AB = 2DE $ . Denote por $ O $ e $ I $ los centros de las circunferencias circunscrita e inscrita del triángulo, respectivamente. Halle el ángulo $ \angle AIO $ .

7 Halle todos los valores enteros de $a$ y $b$ para los cuales el número $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{a}}{\sqrt{3}+\sqrt{b}}$ es racional.

8 En un reino hay $16$ ciudades. El rey quiere construir un sistema de carreteras tal que desde cualquier ciudad se pueda llegar a cualquier otra pasando por a lo sumo una ciudad intermedia, y tal que de cada ciudad salgan a lo sumo $5$ carreteras. (a) Demuestre que esto es posible. (b) Demuestre que si en el enunciado el número $5$ se reemplaza por $4$ , entonces el deseo del rey se vuelve imposible.