2011 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y sean los puntos $E$ y $F$ sobre los lados $AB,CD$ tales que \[\tfrac{AB}{AE}=\tfrac{CD}{DF}=n\] Si $S$ es el área de $AEFD$ , demuestre que ${S\leq\frac{AB\cdot CD+n(n-1)AD^2+n^2DA\cdot BC}{2n^2}}$

2012 Sean los círculos $k_1$ y $k_2$ que se intersecan en dos puntos $A$ y $B$ , y sea $t$ una tangente común de $k_1$ y $k_2$ que toca a $k_1$ y $k_2$ en $M$ y $N$ respectivamente. Si $t\perp AM$ y $MN=2AM$ , evalúe el ángulo $NMB$ .

2013 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB<AC$ y sea $O$ el centro de su circunferencia circunscrita $\omega$ . Sea $D$ un punto del segmento $BC$ tal que $\angle BAD = \angle CAO$ . Sea $E$ el segundo punto de intersección de $\omega$ y la recta $AD$ . Si $M$ , $N$ y $P$ son los puntos medios de los segmentos $BE$ , $OD$ y $AC$ , respectivamente, demuestre que los puntos $M$ , $N$ y $P$ son colineales.

2014 Considere un triángulo acutángulo $ABC$ de área $S$ . Sea $CD \perp AB$ ( $D \in AB$ ) , $DM \perp AC$ ( $M \in AC$ ) y $DN \perp BC$ ( $N \in BC$ ) . Denote por $H_1$ y $H_2$ los ortocentros de los triángulos $MNC$ y $MND$ , respectivamente. Halle el área del cuadrilátero $AH_1BH_2$ en términos de $S$ .

2015 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Las rectas $l_1$ y $l_2$ son perpendiculares a $AB$ en los puntos $A$ y $B$ , respectivamente. Las rectas perpendiculares desde el punto medio $M$ de $AB$ a las rectas $AC$ y $BC$ intersecan a $l_1$ y $l_2$ en los puntos $E$ y $F$ , respectivamente. Si $D$ es el punto de intersección de las rectas $EF$ y $MC$ , demuestre que \[\angle ADB = \angle EMF.\]

2016 Un trapecio $ABCD$ ( $AB || CF$ , $AB > CD$ ) está circunscrito. La circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ toca a las rectas $AB$ y $AC$ en los puntos $M$ y $N$ , respectivamente. Demuestre que el incentro del trapecio $ABCD$ está sobre la recta $MN$ .

2017 Sea $ABC $ un triángulo acutángulo tal que $AB\neq AC$ , con circunferencia circunscrita $ \Gamma$ y circuncentro $O$ . Sea $M$ el punto medio de $BC$ y sea $D$ un punto sobre $ \Gamma$ tal que $AD \perp BC$ . Sea $T$ un punto tal que $BDCT$ es un paralelogramo y sea $Q$ un punto del mismo lado de $BC$ que $A$ tal que $\angle{BQM}=\angle{BCA}$ y $\angle{CQM}=\angle{CBA}$ . Sea la recta $AO$ que interseca a $ \Gamma$ en $E$ $(E\neq A)$ y sea la circunferencia circunscrita de $\triangle ETQ$ que interseca a $ \Gamma$ en el punto $X\neq E$ . Demuestre que los puntos $A,M$ y $X$ son colineales.

2018 Sean $\triangle ABC$ y $A'$ , $B'$ , $C'$ los simétricos de cada vértice respecto a los lados opuestos. La intersección de las circunferencias circunscritas de $\triangle ABB'$ y $\triangle ACC'$ es $A_1$ . $B_1$ y $C_1$ se definen de manera análoga. Demuestre que las rectas $AA_1$ , $BB_1$ y $CC_1$ son concurrentes.

2019 El triángulo $ABC$ es tal que $AB < AC$ . La mediatriz del lado $BC$ interseca a las rectas $AB$ y $AC$ en los puntos $P$ y $Q$ , respectivamente. Sea $H$ el ortocentro del triángulo $ABC$ , y sean $M$ y $N$ los puntos medios de los segmentos $BC$ y $PQ$ , respectivamente. Demuestre que las rectas $HM$ y $AN$ se intersecan sobre la circunferencia circunscrita de $ABC$ .

5 Halle todas las funciones $f : \mathbb{R^{+}}\to \mathbb{R^{+}}$ tales que $$f(x)^2=f(xy)+f(x+f(y))-1$$ para todo $x, y\in \mathbb{R^{+}}$