Considere la siguiente sucesión creciente $1,3,5,7,9,…$ de todos los enteros positivos que consisten solo en dígitos impares. Halle el término $2017$ -ésimo de la sucesión anterior.

Sean $a,b$ y $c$ números reales tales que $|a+b|+|b+c|+|c+a|=8.$ Halle el valor máximo y mínimo de la expresión $P=a^2+b^2+c^2.$

1 $(a)$ ¿Es posible particionar el segmento $[0,1]$ en dos conjuntos $A$ y $B$ y definir una función continua $f$ tal que para todo $x\in A \ f(x)$ esté en $B$ , y para todo $x\in B \ f(x)$ esté en $A$ ? $(b)$ La misma pregunta con $[0,1]$ reemplazado por $[0,1).$

Halle todos los números naturales $x,y$ tales que $$x^5=y^5+10y^2+20y+1.$$

La fila inferior de un rectángulo de $2\times 13$ está llena con $13$ fichas marcadas con los números $1, 2, ..., 13$ y ubicadas en ese orden. Una operación es un movimiento de una ficha desde su casilla a una casilla libre adyacente (dos casillas se llaman adyacentes si tienen un lado común). ¿Cuál es el número mínimo de operaciones necesarias para reordenar las fichas en orden inverso en la fila inferior del rectángulo?

1 Sean $a$ , $b$ y $c$ números reales mayores que $1$ . Demuestre la desigualdad $$\frac{ab}{c-1}+\frac{bc}{a - 1}+\frac{ca}{b -1} \ge 12.$$ ¿Cuándo se cumple la igualdad? (Karl Czakler)

2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$ . La circunferencia circunscrita del triángulo $BHC$ interseca a $AC$ una segunda vez en el punto $P$ y a $AB$ una segunda vez en el punto $Q$ . Demuestre que $H$ es el circuncentro del triángulo $APQ$ . (Karl Czakler)

3 Sobre una mesa, tenemos diez mil cerillas, dos de las cuales están dentro de un tazón. Anna y Bernd juegan el siguiente juego: Se turnan alternadamente y Anna comienza. Un turno consiste en contar las cerillas del tazón, elegir un divisor propio $d$ de este número y añadir $d$ cerillas al tazón. El juego termina cuando hay más de $2024$ cerillas en el tazón. La persona que jugó el último turno gana. Demuestre que Anna puede ganar independientemente de cómo juegue Bernd. (Richard Henner)

4 Sea $n$ un entero positivo. Demuestre que $a(n) = n^5 +5^n$ es divisible por $11$ si y solo si $b(n) = n^5 · 5^n +1$ es divisible por $11$ . (Walther Janous)

1 Sean $a$ , $b$ y $c$ números reales con $0 \le a, b, c \le 2$ . Demuestre que $$(a - b)(b - c)(a- c) \le 2.$$ ¿Cuándo se cumple la igualdad? (Karl Czakler)