2 Considere el polinomio de segundo grado $x^2+ax+b$ con coeficientes reales. Sabemos que la condición necesaria y suficiente para que este polinomio tenga raíces reales es que su discriminante, $a^2-4b$ , sea mayor o igual que cero. Note que el discriminante es también un polinomio con variables $a$ y $b$ . Demuestre que la misma afirmación no es cierta para polinomios de grado $4$ : demuestre que no existe un polinomio de $4$ variables $P(a,b,c,d)$ tal que: el polinomio de cuarto grado $x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ pueda escribirse como el producto de cuatro polinomios de grado $1$ si y solo si $P(a,b,c,d)\ge 0$ . (Todos los coeficientes son números reales.) Propuesto por Sahand Seifnashri

3 La circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ es tangente a los lados $BC,CA$ y $AB$ en $D,E$ y $F$ , respectivamente. El reflejo de $F$ con respecto a $B$ y el reflejo de $E$ con respecto a $C$ son $T$ y $S$ , respectivamente. Demuestre que el incentro del triángulo $AST$ está dentro o sobre la circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ . Propuesto por Mehdi E'tesami Fard

2 En el triángulo $ABC$ , tenemos $\angle ABC=60$ . La recta que pasa por $B$ perpendicular al lado $AB$ interseca a la bisectriz del $\angle BAC$ en $D$ , y la recta que pasa por $C$ perpendicular a $BC$ interseca a la bisectriz del $\angle ABC$ en $E$ . Demuestre que $\angle BED\le 30$ .

1 Halle el menor número natural $n$ tal que existen $n$ números reales en el intervalo $(-1,1)$ tales que su suma sea igual a cero y la suma de sus cuadrados sea igual a $20$ .

3 Halle todas las sucesiones crecientes $a_1,a_2,a_3,...$ de números naturales tales que para cada $i,j\in \mathbb N$ , el número de divisores de $i+j$ y de $a_i+a_j$ sea igual. (una sucesión creciente es una sucesión tal que si $i\le j$ , entonces $a_i\le a_j$ . )

3 Sea $ ABC $ un triángulo y el punto $ D $ está sobre el segmento $ BC $ tal que $ AD $ es la bisectriz interior de $ \angle A $ . Prolongamos $ AD $ hasta que interseca a la circunferencia circunscrita de $ \Delta ABC $ en $ M $ . Trazamos una recta desde $ D $ que interseca a las rectas $ MB,MC $ en $ P,Q $ , respectivamente ( $ M $ no está entre $ B,P $ ni entre $ C,Q $ ) . Demuestre que $ \angle PAQ\geq\angle BAC $ .

5 En el triángulo $ABC$ tenemos $\angle A=\frac{\pi}{3}$ . Construya $E$ y $F$ sobre las prolongaciones de $AB$ y $AC$ , respectivamente, tales que $BE=CF=BC$ . Suponga que $EF$ interseca a la circunferencia circunscrita de $\triangle ACE$ en $K$ . ( $K\not \equiv E$ ) . Demuestre que $K$ está sobre la bisectriz del $\angle A$ . Amir

3 Los círculos $W_1,W_2$ se intersecan en $D$ y $P$ . $A$ y $B$ están sobre $W_1,W_2$ , respectivamente, tales que $AB$ es tangente a $W_1$ y $W_2$ . Suponga que $D$ está más cerca que $P$ de la recta $AB$ . $AD$ interseca al círculo $W_2$ por segunda vez en $C$ . Sea $M$ el punto medio de $BC$ . Demuestre que $\angle{DPM}=\angle{BDC}$ . Amir

4 Sea $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ un polinomio con coeficientes reales tal que \[\min\{d,b+d\}> \max\{|{c}|,|{a+c}|\}\] Demuestre que $P(x)$ no tiene raíces reales en $[-1,1]$ . Amir

1 Sea $ p(x) $ un polinomio cuadrático para el cual : \[ |p(x)| \leq 1 \qquad \forall x \in \{-1,0,1\} \] Demuestre que : \[ \ |p(x)|\leq\frac{5}{4} \qquad \forall x \in [-1,1]\]