2013.1.1 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. La mediatriz del lado $AB$ corta a las rectas $BC$ y $CA$ en los puntos $X$ e $Y$, respectivamente, y la mediatriz del lado $AC$ corta a las rectas $BC$ y $AB$ en los puntos $Z$ y $W$. Demuestra que los puntos $X, Y, Z$ y $W$ son concíclicos.

C2 Adamu y Afaafa eligen, cada uno en su turno, enteros positivos como coeficientes de un polinomio de grado $n$ . Adamu gana si el polinomio obtenido tiene una raíz entera; en caso contrario, gana Afaafa. Afaafa juega primero si $n$ es impar; en caso contrario, Adamu juega primero. Demuestre que: Adamu tiene una estrategia ganadora si $n$ es impar. Afaafa tiene una estrategia ganadora si $n$ es par.

6 Demuestre las dos afirmaciones siguientes: (a) Si un triángulo es isósceles, entonces dos de sus bisectrices tienen longitudes iguales. (b) Si dos bisectrices de un triángulo tienen longitudes iguales, entonces el triángulo es isósceles.

4 Dos personas $A$ y $B$ juegan el siguiente juego: En el sistema de ecuaciones $$x + a_1y = b_1 \,\,\,(1)\,\,\, , a_2y + b_2z = a_3 \,\,\,(2), \,\,\,b_3x + a_4z = b_4 \,\,\,(3)$$ Primero $A$ elige para el coeficiente $a_1$ ; luego $B$ para el coeficiente $b_1$ ; después nuevamente $A$ para $a_2$ ; luego $B$ para $b)2$ , y así sucesivamente, finalmente $B$ para $b_4$ , eligiendo cada vez un entero arbitrario. $A$ gana si y solo si el sistema $(1), (2), (3)$ tiene exactamente una solución entera $(x, y, z)$ . a) ¿Puede $A$ jugar de esta manera, es decir, puede elegir los coeficientes $a_1, ..., a_4$ después de que $B$ haya elegido $b_1, ..., b_3$ de modo que gane? b) ¿Puede $A$ fijar de antemano valores para los coeficientes $a_1, ..., a_4$ de modo que gane (en todo caso) independientemente de la elección de coeficientes de $B$?

5 Sea $A_0A_1...A_n$ ( $n > 2$ ) un polígono convexo plano de longitud $s$ con $A_0 \ne A_n$ . Sean los puntos $A_1$ , $ ...$ , $A_{n-1}$ situados en el mismo lado de la recta $g$ que pasa por $A_0$ y $A_n$ . Debe demostrarse que el área $F$ de la superficie que resulta al girar el polígono alrededor de $g$ no es mayor que $\pi \frac{s^2}{2}$ , es decir, que se cumple $$F \le \pi \frac{s^2}{2}$$ Nota: Un polígono plano $A_0A_1...A_n$ se llama convexo si el polígono encerrado por el segmento $A_0A_n$ limita una superficie convexa.

6 Definición: Un conjunto $M$ de elementos $u, v, w, ...$ se llama grupo con respecto a la operación algebraica $A$ si y solo si se cumplen las tres condiciones siguientes: a) A todo par ordenado $[u, v]$ de elementos de $M$ se le asocia un elemento $ w$ de $M$ en virtud de la operación A (se escribe $u \odot v = w$ ). b) La operación algebraica $A$ es asociativa, es decir, para todos los elementos $u, v, w$ de $M$ se cumple lo siguiente: $(u \odot v) \odot w = u \odot (v \odot w)$ . c) Para cualesquiera dos elementos $u$ y $v$ de $M$ existe al menos un elemento $x$ de $M$ tal que $u \odot x = v$ y al menos un elemento $y$ de $M$ tal que $y \odot u = v$ . Sea $P$ el conjunto de todos los polinomios de primer grado $f(x) = a_0 + a_1x$ , donde $a_0$ , $a_1$ son números racionales y $a_1 \ne 0$ . Además, sea la operación algebraica $A$ definida en $P$ de la siguiente manera: Si $f(x)$ y $g(x)$ son polinomios de $P$ , entonces $f(x)\odot g(x) = g[f(x)]$ . Debe decidirse si $P$ es un grupo con respecto a $A$ .

1 Un grupo de 30 amigos participa en un campamento internacional. Algunos hablan alemán, otros ruso y otros francés. Algunos amigos hablan solo un idioma, algunos dos idiomas y algunos incluso tres idiomas. El número de amigos que hablan exactamente dos idiomas es más del doble, pero menos del triple, del número de los que hablan solo un idioma. El número de participantes que hablan los tres idiomas es igual al número de los que hablan solo un idioma. El número de amigos que solo hablan alemán es mayor que el número de los que solo hablan ruso, pero menor que el número de los que solo hablan francés. El número de los que solo hablan alemán es menor que el triple del número de los que solo hablan ruso. Indique el número de todos los miembros de este grupo que solo hablan alemán, solo ruso, solo francés y los tres idiomas.

3 Debe demostrarse que para todo entero $n \ge 1$ la función $f$ dada por $$f(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + ... + \frac{x_n}{n!}$$ puede tener a lo sumo un cero real.

4 Los vértices de un $n$ -ágono regular con centro $M$ se etiquetan secuencialmente como $P_1, P_2, ..., P_n$ . a) Demuestre que los segmentos $MP_k$ ( $k = 1, 2, ..., n$ ) pueden trasladarse paralelamente a sí mismos de modo que después de la traslación formen los lados de un $n$ -ágono regular. b) Demuestre (por ejemplo, usando el teorema de a)) que las siguientes relaciones son válidas para todos los números naturales $n$ mayores que $2$ : $$\cos \frac{2\pi}{n}+ \cos \frac{4\pi}{n} + ... + \cos \frac{2\pi n}{n}= 0 $$ $$\sin \frac{2\pi}{n} + \sin \frac{4\pi}{n} + ... + \sin \frac{2\pi n}{n}= 0$$

5 Deben especificarse todos los números reales $\lambda$ para los cuales la ecuación $$sin^4 x - cos^4 x = \lambda (tan^4 x - cot^4 x)$$ tiene a) ninguna, b) exactamente una, c) exactamente dos, d) más de dos soluciones reales en el intervalo $ 0 < x < \frac{pi}{2}$ .