1 Sea $ABC$ un triángulo. Sea $D$ el punto de intersección de la bisectriz del ángulo en $A$ con $BC$. Sea $T$ el punto de intersección de la recta tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en el punto $A$ con la recta que pasa por $B$ y $C$. Sea $I$ el punto de intersección de la recta perpendicular a $AT$ que pasa por $D$ con la altura $h_a$ del triángulo en el punto $A$. Sea $P$ el punto medio de $AB$, y sea $O$ el circuncentro del triángulo $ABC$. Sea $M$ el punto de intersección de $AB$ y $TI$, y sea $F$ el punto de intersección de $PT$ y $AD$. Demuestra que $MF$ y $AO$ son ortogonales entre sí.

Supón que $\sec x+\tan x=\frac{22}7$ y que $\csc x+\cot x=\frac mn,$ donde $\frac mn$ está en su mínima expresión. Encuentra $m+n.$

Sean $a_1,a_2,\ldots, a_m$ un conjunto de $m$ números pares positivos distintos y $b_1,b_2,\ldots,b_n$ un conjunto de $n$ números impares positivos distintos tales que \[a_1+a_2+\cdots+a_m+b_1+b_2+\cdots+b_n=2019\] Demuestre que \[5m+12n\le 581.\] ayan.nmath

10 Dos cadenas de tres letras, $aaa$ y $bbb$, se transmiten electrónicamente. Cada cadena se envía letra por letra. Debido a un equipo defectuoso, cada una de las seis letras tiene una probabilidad de 1/3 de recibirse incorrectamente, como una $a$ cuando debería haber sido una $b$, o como una $b$ cuando debería ser una $a$. Sin embargo, si una letra dada se recibe correcta o incorrectamente es independiente de la recepción de cualquier otra letra. Sea $S_a$ la cadena de tres letras recibida cuando se transmite $aaa$ y sea $S_b$ la cadena de tres letras recibida cuando se transmite $bbb$. Sea $p$ la probabilidad de que $S_a$ venga antes que $S_b$ en orden alfabético. Cuando $p$ se escribe como una fracción en su forma más simple, ¿cuál es su numerador?

3 Sea \(D\) el punto medio del lado \(BC\) del triángulo \(ABC\) . Sean \(E, F\) puntos sobre los lados \(AB, AC\) respectivamente tales que \(DE = DF\) . Demuestre que \(AE + AF = BE + CF \iff \angle EDF = \angle BAC\) .

En cada vértice de un polígono regular de $12$ lados se debe escribir un entero positivo de modo que se cumpla la siguiente condición: siempre que un número se sume a sus dos números vecinos, el resultado sea igual a $31$. Los números pueden repetirse. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto?

11.3 La malvada hechicera Morgana vive en un palacio con forma de cuadrado dividido en una cuadrícula de \(101 \times 101\) habitaciones, cada una inicialmente a una temperatura de \(20^\circ\) C. Merlín intenta congelar a Morgana lanzando un hechizo que fija permanentemente la temperatura de la celda central a \(0^\circ\) C. En cada nanosegundo posterior, ocurren los siguientes pasos en orden: 1. Para cada celda excepto la central, la nueva temperatura se calcula como el promedio aritmético de las temperaturas de sus celdas adyacentes (las que comparten un lado). 2. Todas las nuevas temperaturas (excepto la celda central) se actualizan simultáneamente a los valores calculados. Morgana puede moverse libremente entre habitaciones, pero se congelará si todas las temperaturas de las habitaciones bajan de \(10^{-2025}\) grados. El hechizo de hielo dura \(10^{75}\) nanosegundos, después de lo cual las temperaturas vuelven a sus valores iniciales. ¿Tendrá éxito Merlín en congelar a Morgana?

Halle el menor número natural $k$ tal que existan un número natural $n$ y números primos $p_1,p_2 , \dots , p_k$ tales que: $$p_1^2 + p_2^2 + \dots + p_k^2 = n!$$

Determine todos los enteros positivos $m$ que satisfacen la condición de que existe un único entero positivo $n$ tal que existe un rectángulo que puede descomponerse en $n$ cuadrados congruentes y también puede descomponerse en $m+n$ cuadrados congruentes. ayan.nmath

1 Sea $\Delta ABC$ un triángulo acutángulo. $D,E,F$ son los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita con $BC,CA,AB$ respectivamente. $AD,BE,CF$ intersecan a la circunferencia inscrita en $K,L,M$ respectivamente. Si, $$\sigma = \frac{AK}{KD} + \frac{BL}{LE} + \frac{CM}{MF}$$ $$\tau = \frac{AK}{KD}.\frac{BL}{LE}.\frac{CM}{MF}$$ Demuestre entonces que $\tau = \frac{R}{16r}$ . Demuestre también que existen enteros $u,v,w$ tales que, $uvw \neq 0$ , $u\sigma + v\tau +w=0$ .