4 Demuestra que si $x$ , $y$ , $z$ son números reales positivos y $xyz = 1$ entonces \[\frac{x^3}{x^2+y}+\frac{y^3}{y^2+z}+\frac{z^3}{z^2+x}\geq \dfrac {3} {2}.\] A. Golovanov

C7 Para cualesquiera conjuntos finitos $X$ y $Y$ de enteros positivos, denotemos por $f_X(k)$ el $k^{\text{th}}$ entero positivo más pequeño que no está en $X$ , y sea $$X*Y=X\cup \{ f_X(y):y\in Y\}.$$ Sea $A$ un conjunto de $a>0$ enteros positivos y sea $B$ un conjunto de $b>0$ enteros positivos. Demuestre que si $A*B=B*A$ , entonces $$\underbrace{A*(A*\cdots (A*(A*A))\cdots )}_{\text{ A appears $b$ times}}=\underbrace{B*(B*\cdots (B*(B*B))\cdots )}_{\text{ B appears $a$ times}}.$$ Propuesto por Alex Zhai, Estados Unidos

4 Determine todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ que satisfacen la siguiente relación para todos los números reales $x$ e $y$ \[f(xf(y)-f(x))=2f(x)+xy.\]

1 Halle todos los pares $(m,n)$ de enteros positivos impares tales que $n \mid 3m+1$ y $m \mid n^2+3$ .

2 Considere el conjunto $M=\{1,2,3,...,2020\}.$ Halle el entero positivo más pequeño $k$ tal que para cualquier subconjunto $A$ de $M$ con $k$ elementos, existan $3$ números distintos $a,b,c$ de $M$ tales que $a+b, b+c$ y $c+a$ estén todos en $A.$

3 Las bisectrices exteriores de los ángulos del cuadrilátero convexo $ABCD$ se cortan entre sí en $E,F,G$ y $H$ tales que $A\in EH, \ B\in EF, \ C\in FG, \ D\in GH$ . Sabemos que las perpendiculares desde $E$ a $AB$ , desde $F$ a $BC$ y desde $G$ a $CD$ son concurrentes. Demuestre que $ABCD$ es cíclico.

2 Para todo entero positivo $n>1$ , sea $p(n)$ el mayor factor primo de $n$ . Halle todas las ternas de enteros positivos distintos $(x,y,z)$ que satisfacen las siguientes propiedades: $x,y$ y $z$ forman una progresión aritmética, y $p(xyz)\leq 3.$

Escribe un entero positivo en cada casilla de modo que: Los seis números sean todos distintos. La suma de los seis números sea $100$ . Si cada número se multiplica por su vecino (en sentido horario) y se suman los seis resultados de esas seis multiplicaciones, se obtiene el menor valor posible. Explica por qué no se puede obtener un valor menor.

1 Determina todos los pares de números naturales $a$ y $b$ tales que $\frac{a+1}{b}$ y $\frac{b+1}{a}$ son números naturales.

1 Considere un triángulo fijo $ABC$ tal que $AB=AC.$ Sea $M$ el punto medio de $BC.$ Sea $P$ un punto variable dentro de $\triangle ABC,$ tal que $\angle PBC=\angle PCA.$ Demuestre que la suma de las medidas de $\angle BPM$ y $\angle APC$ es constante.