2 Un país tiene 1001 ciudades, y cada par de ciudades está conectado por una calle de un solo sentido. De cada ciudad salen exactamente 500 caminos, y en cada ciudad terminan 500 caminos. Una república independiente se separa del país, y contiene 668 de las 1001 ciudades. Demuestre que desde cada ciudad de esta república se puede llegar a cualquier otra ciudad de la república sin verse obligado a salir de ella.

3 Un triángulo $ T$ está contenido dentro de un polígono $ M.$ con simetría central. El triángulo $ T'$ es la imagen especular del triángulo $ T$ bajo la reflexión en un punto $ P$ , que se encuentra dentro del triángulo $ T$ . Demuestre que al menos uno de los vértices del triángulo $ T'$ se encuentra en el interior o en la frontera del polígono $ M.$

2 Sean $ I(A)$ e $ I(B)$ los centros de las circunferencias exinscritas de un triángulo $ ABC,$ que tocan los lados $ BC$ y $ CA$ en su interior. Además, sea $ P$ un punto sobre la circunferencia circunscrita $ \omega$ del triángulo $ ABC.$ Demuestre que el centro del segmento que une los circuncentros de los triángulos $ I(A)CP$ e $ I(B)CP$ coincide con el centro de la circunferencia $ \omega.$

3 Se dan los polinomios $ P(x)$ y $ Q(x)$ . Se sabe que para cierto polinomio $ R(x, y)$ se cumple la identidad $ P(x) - P(y) = R(x, y) (Q(x) - Q(y))$ . Demuestre que existe un polinomio $ S(x)$ tal que $ P(x) = S(Q(x)) \quad \forall x.$

Se dan $2018$ puntos en el plano. Demuestra que es posible cubrirlos con círculos tales que: $i)$ la suma de las longitudes de todos los diámetros de todos los círculos no sea mayor que $2018$ $ii)$ la distancia entre cualesquiera dos círculos sea mayor que $1$

4 Un paralelepípedo es cortado por un plano a lo largo de un hexágono. Supongamos que este hexágono puede ser cubierto por cierto rectángulo $ \pi$ (lo que significa que se puede colocar el rectángulo $ \pi$ sobre el plano del paralelepípedo de modo que el hexágono quede completamente cubierto por el rectángulo). Demuestre que también se puede cubrir una de las caras del paralelepípedo con el rectángulo $ \pi.$

1 Suponga que $M$ es un conjunto de $2003$ números tal que, para cualesquiera $a, b \in M$ distintos, el número $a^2 +b\sqrt 2$ es racional. Demuestre que $a\sqrt 2$ es racional para todo $a \in M.$ Amir

4 Una tabla rectangular tiene 9 filas y 2004 columnas. En las 9 * 2004 casillas de la tabla colocamos los números del 1 al 2004, cada uno 9 veces. Y hacemos esto de tal manera que dos números que estén en exactamente la misma columna difieran a lo sumo en 3. Halle la menor suma posible de todos los números de la primera fila.

2 Demuestre que no existe un conjunto finito que contenga más de $ 2N,$ con $ N > 3,$ vectores del plano no colineales dos a dos, y al que se apliquen las dos propiedades siguientes: 1) para $ N$ vectores arbitrarios de este conjunto siempre hay $ N-1$ vectores adicionales de este conjunto tales que la suma de estos $ 2N-1$ vectores es igual al vector cero; 2) para $ N$ vectores arbitrarios de este conjunto siempre hay $ N$ vectores adicionales de este conjunto tales que la suma de estos $ 2N$ vectores es igual al vector cero.

3 ¿Es posible escribir un número natural en cada casilla de un tablero de ajedrez infinito de tal manera que para todos los enteros $m, n > 100$ , la suma de los números de todo rectángulo de $m\times n$ sea divisible por $m + n \ ?$ Amir