4 Sea $ ABC$ un triángulo, y sea $ D$ un punto donde la circunferencia inscrita toca al lado $ BC$ . $ M$ es el punto medio de $ BC$ , y $ K$ es un punto de $ BC$ tal que $ AK\perp BC$ . Sea $ D'$ un punto de $ BC$ tal que $ \frac{D'M}{D'K}=\frac{DM}{DK}$ . Defina $ \omega_{a}$ como la circunferencia con diámetro $ DD'$ . Definimos $ \omega_{B},\omega_{C}$ de manera similar. Demuestre que cualesquiera dos de estas circunferencias son tangentes. Omid

5 Una raíz hiperprimitiva es una k-tupla $ (a_{1},a_{2},\dots,a_{k})$ y $ (m_{1},m_{2},\dots,m_{k})$ con la siguiente propiedad: para cada $ a\in\mathbb N$ tal que $ (a,m) = 1$ , existe una representación única de la forma: \[ a\equiv a_{1}^{\alpha_{1}}a_{2}^{\alpha_{2}}\dots a_{k}^{\alpha_{k}}\pmod{m}\qquad 1\leq\alpha_{i}\leq m_{i}\] Demuestre que para cada $ m$ existe una raíz hiperprimitiva. Omid

4 En el siguiente retículo triangular, la distancia entre dos vértices es la longitud del camino más corto entre ellos. Sean $ A_{1},A_{2},\dots,A_{n}$ vértices fijos del retículo. Queremos hallar un vértice del retículo cuya suma de distancias a los vértices sea mínima. Partimos de un vértice arbitrario. En cada paso examinamos los seis vecinos y, si la suma de las distancias a los vértices de uno de los vecinos es menor que la suma de las distancias a los vértices en el momento actual, nos movemos a ese vecino. Si tenemos más de una opción, elegimos arbitrariamente, como se ve en la figura adjunta. Obviamente el algoritmo termina. a) Demuestre que cuando no podemos hacer ningún movimiento hemos llegado a la respuesta del problema. b) ¿Alcanza este algoritmo la respuesta para todo grafo conexo? Omid

1 Sea $n$ un número natural. Sea $d$ el menor número natural tal que para cada $a$ con $gcd(a,n)=1$ se cumple $a^{d}\equiv1\pmod{n}$ . Demuestre que existe un número natural tal que $\mbox{ord}_{n}b=d$ . Omid

2 Sea $n$ un número natural tal que $\frac{x^{n}+1}{x+1}$ es irreducible sobre $\mathbb Z_{2}[x]$ . Considere un vector en $\mathbb Z_{2}^{n}$ que tiene un número impar de $1$ ' s (como entradas) y al menos una de sus entradas es $0$ . Demuestre que este vector y sus traslaciones forman una base de $\mathbb Z_{2}^{n}$ . Omid

3 Sea $L$ un retículo de rango completo en $\mathbb R^{2}$ y sea $K$ un subretículo de $L$ tal que $\frac{A(K)}{A(L)}=m$ . Si $m$ es el menor número tal que para cada $x\in L$ , $mx$ está en $K$ . Demuestre que existe una base $\{x_{1},x_{2}\}$ de $L$ tal que $\{x_{1},mx_{2}\}$ es una base de $K$ . Omid

4 Sean $a,b,c,t$ números naturales, $k=c^{t}$ y $n=a^{k}-b^{k}$ . a) Demuestre que si $k$ tiene al menos $q$ divisores primos distintos, entonces $n$ tiene al menos $qt$ divisores primos distintos. b) Demuestre que $\varphi(n)$ es divisible por $2^{\frac{t}{2}}$ . Omid

6 Sean $P,Q,R$ polinomios no nulos tales que para cada $z\in\mathbb C$ , $P(z)Q(\bar z)=R(z)$ . a) Si $P,Q,R\in\mathbb R[x]$ , demuestre que $Q$ es un polinomio constante. b) ¿Es correcta la afirmación anterior para $P,Q,R\in\mathbb C[x]$ ? Omid

5 Para cada $n$ , defina $L(n)$ como el número de números naturales $1\leq a\leq n$ tales que $n\mid a^{n}-1$ . Si $p_{1},p_{2},\ldots,p_{k}$ son los divisores primos de $n$ , defina $T(n)$ como $(p_{1}-1)(p_{2}-1)\cdots(p_{k}-1)$ . a) Demuestre que para cada $n\in\mathbb N$ se tiene $n\mid L(n)T(n)$ . b) Demuestre que si $\gcd(n,T(n))=1$ entonces $\varphi(n) | L(n)T(n)$ . Omid

6 a) Sean $P(x),R(x)$ polinomios con coeficientes racionales y supongamos que $P(x)$ no es el polinomio cero. Demuestre que existe un polinomio no nulo $Q(x)\in\mathbb Q[x]$ tal que \[P(x)\mid Q(R(x)).\] b) Sean $P,R$ polinomios con coeficientes enteros y supongamos que $P$ es mónico. Demuestre que existe un polinomio mónico $Q(x)\in\mathbb Z[x]$ tal que \[P(x)\mid Q(R(x)).\] Omid