Determine todas las funciones $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ que satisfacen la ecuación $$f(f(x+y))=f(x+y)+f(x)f(y)-xy,$$ para cualesquiera dos números reales $x$ e $y$ .

En dos cajas de madera hay $1994$ y $2024$ canicas, respectivamente. Spiro y Cvetko juegan el siguiente juego: alternadamente, cada jugador toma un turno y retira algunas canicas de una de las cajas, de modo que el número de canicas retiradas en ese turno sea un divisor del número actual de canicas de la otra caja. El ganador del juego es aquel después de cuyo turno ambas cajas quedan vacías. Spiro toma el primer turno. ¿Cuál de los jugadores tiene una estrategia ganadora?

3 Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{R}^+\rightarrow\mathbb{R}^+$ tales que para todo $x, y\in\mathbb{R}^+$ , \[ \frac{f(x)}{y^2} - \frac{f(y)}{x^2} \le \left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)^2\] ( $\mathbb{R}^+$ denota el conjunto de los números reales positivos.) (Propuesto por Ivan Chan Guan Yu)

4 Minivan elige un número primo. Luego, cada segundo, añade el dígito $1$ o el dígito $3$ al extremo derecho de su número (después del dígito de las unidades), de modo que el nuevo número también sea primo. ¿Puede continuar indefinidamente? (Propuesto por Wong Jer Ren)

3 Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ tales que para todos los enteros $x$ , $y$ , $$f(x-f(y))=f(f(y))+f(x-2y)$$ Propuesto por Ivan Chan Kai Chin

1 Considere el $\triangle MAB$ con un ángulo recto en $A$ y circunferencia circunscrita $\omega$ . Tome cualquier cuerda $CD$ perpendicular a $AB$ tal que $A, C, B, D, M$ se encuentren sobre $\omega$ en ese orden. Las rectas $AC$ y $MD$ se intersecan en el punto $E$ , y sea $O$ el circuncentro del $\triangle EMC$ . Muestre que si $J$ es la intersección de $BC$ y $OM$ , entonces $JB = JM$ . (Propuesto por Matthew Kung Wei Sheng e Ivan Chan Kai Chin)

2 Resuelva sobre los enteros no negativos el sistema $$ \begin{cases} x+y+z^2=xyz, \\ z\leq min(x,y). \end{cases} $$

Sea $M$ un número real positivo. Determine el menor número real positivo $k$ con la siguiente propiedad: para cada entero $n>M$ , el intervalo $(n,kn]$ contiene una potencia de $2$ .

Sea $ABCD$ un cuadrilátero con $AB>AD$ tal que la circunferencia inscrita $k_1$ del $\triangle ABC$ con centro $O_1$ y la circunferencia inscrita $k_2$ del $\triangle ADC$ con centro $O_2$ tienen un punto común sobre $AC$ . Si $k_1$ es tangente a $AB$ en $M$ y $k_2$ es tangente a $AD$ en $L$ , demuestre que las rectas $BD$ , $LM$ y $O_1O_2$ pasan por un punto común.

Sea $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \setminus \left \{ 1 \right \}$ una función que satisface tanto la desigualdad $f(a+f(a)) \leq 2a+3$ como la ecuación $$f(f(a)+b) = f(a+f(b)),$$ para cualesquiera $a,b \in \mathbb{N}$ . Sea $g:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ definida por: $g(a)$ es el mayor divisor primo de $f(a)$ . Demuestre que existen enteros $a>b>2024$ tales que $b|a$ y $g(a) = g(b)$ .