10.4 Halle las funciones $f(x)$ y $g(x)$ que satisfacen el sistema de ecuaciones: \[ \begin{cases} f(2x+1) + 2x\cdot g(2x+1) = 4x, \\ f\!\left(\dfrac{2x+1}{2x-1}\right) + g\!\left(\dfrac{2x+1}{2x-1}\right) = 2x - 1. \end{cases} \]

9.5 Sean $x_1, x_2, \ldots, x_n$ números reales positivos que satisfacen \[ x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 1. \] Demuestre que \[ \frac{x_1^2}{2x_1 + 3x_2} + \frac{x_2^2}{2x_2 + 3x_3} + \cdots + \frac{x_n^2}{2x_n + 3x_1} > \frac{1}{12}. \]

11.2 Halle las funciones $f(x)$ y $g(x)$ que satisfacen el sistema de ecuaciones: \[ \begin{cases} f(x-1) + g(2x+1) = 2x, \\ f(2x+2) + 2g(4x+7) = x-1. \end{cases} \]

11.3 Se dan un ángulo agudo y un punto $K$ en su interior. Construya una recta que pase por el punto $K$ y que corte del ángulo un triángulo de área mínima.

11.4 Dos corredores parten del mismo punto de una pista circular de un estadio. Un tercer corredor parte al mismo tiempo, en la misma dirección, desde el punto diametralmente opuesto. Después de recorrer tres vueltas, el tercer corredor alcanza al segundo corredor por primera vez desde el inicio. $2.5$ minutos después, el primer corredor alcanza al tercer corredor por primera vez. ¿Cuántas vueltas por minuto corre el segundo corredor, si el primer corredor lo alcanza una vez cada $6$ minutos?

11.7 Cuatro circunferencias $B_1, B_2, B_3, B_4$ están en el mismo plano de modo que la circunferencia $B_2$ es tangente a $B_1$ , $B_3$ es tangente a $B_2$ , $B_4$ es tangente a $B_3$ y $B_1$ es tangente a $B_4$ . Todas las circunferencias son tangentes externamente. Demuestre que los cuatro puntos de tangencia están sobre una misma circunferencia.

11.8 Se conocen dos hechos sobre el Consejo Supremo de Magos: $\bullet$ Cada miembro del consejo es amigo de exactamente $n$ otros miembros; $\bullet$ Para cualesquiera $n$ miembros del consejo, existe un $(n+1)$ -ésimo miembro que es amigo de todos ellos. ¿Cuál es el número máximo posible de magos en el Consejo Supremo?

Daniel y Juan juegan un juego en un pizarrón en el que inicialmente está escrito el número 3. Se turnan, comenzando Daniel. Si en el pizarrón está escrito el número $n$ , el jugador actual puede borrarlo y reemplazarlo por $n-1$ o por $(n + 1)^2$ siempre que el número resultante sea menor que 4 millones (4.000.000). Gana el jugador que escribe 2023 en el pizarrón. Determine cuál de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora y descríbala. Propuesto por Juan David Restrepo

11.1 ¿Cuántas soluciones en enteros no negativos tiene la ecuación \[ x + 3y + 3z + 9w = 45 \]?

11.6 Sean $a_1, a_2, b_1, b_2$ números reales que satisfacen la relación \[ a_1a_2 = 2(b_1 + b_2). \] Demuestre que la ecuación \[ x^{4} + (a_1 + a_2)x^{3} + (a_1a_2 + b_1 + b_2)x^{2} + (a_1b_2 + a_2b_1)x + b_1b_2 = 0 \] tiene al menos una raíz real.