Hyunwoo y Wooju juegan un juego con dos números reales positivos dados $a$ y $b$ . Primero, Hyunwoo elige un entero positivo $n$ y declara una función $f : \mathbb{R} \to \{1,2,\dots,n\}$ . Luego, Wooju escribe un número real $r$ en una tarjeta que Hyunwoo no puede ver. Después, una vez por minuto, Wooju reemplaza el número $x$ escrito en la tarjeta por $x+a$ o por $x-b$ , y cada vez informa a Hyunwoo del valor $f(x)$ . Hyunwoo tiene exactamente una oportunidad de anunciar un entero y adivinar $\lfloor r \rfloor$ . Determine todos los pares $(a,b)$ para los cuales Hyunwoo puede elegir un entero positivo $n$ y una función $f$ de modo que se garantice que determina correctamente $\lfloor r \rfloor$ en tiempo finito. Propuesto por Wooju Ham Acorn-SJ

Igual que el nivel sénior

Sea $S$ el conjunto de $2025$ puntos diferentes y no hay tres puntos que estén sobre la misma recta. Sea $X$ el conjunto de $4$ -uplas $(A,B,C,D)$ donde $A,B,C,D$ son todos diferentes y $A,B,C,D$ son elementos de $S$ . Demuestre que el número de $(A,B,C,D)\in X$ es al menos $\tfrac{\left| X \right|}{15}$ , para las cuales existe un punto de intersección del segmento $AB$ y el segmento $CD$ . Propuesto por Seho Jung

Se dan cinco números reales positivos todos diferentes menores que $\tfrac{15}{17}$ . Demuestre que entre los cinco números reales anteriores existen dos números reales $a>b$ que satisfacen $$3(a-b)<1-ab$$ Propuesto por Seho Jung

Demuestre que existe un conjunto $S$ de enteros positivos tal que todos los elementos de $S$ son menores o iguales que $2^{2026}$ y se cumple la siguiente condición. $$\text{(condition)} \left| S \right|=2^{1013} \text{and for distinct $x$,$y$,$z$ that $x$,$y$,$z$} \in S, \tfrac{x+y+z}{3}\notin S$$

Para polinomios dados $f,g$ con coeficientes enteros en dos variables, defina las sucesiones de enteros $\{x_i\},\{y_i\}$ $(i=0,1,\dots)$ mediante \[ x_0=y_0=0,\qquad x_{i+1}=f(x_i,y_i),\qquad y_{i+1}=g(x_i,y_i)\quad (i\ge 0). \] Sea $T$ el menor entero positivo tal que $x_T=y_T=0$ . (a) ¿Existe tal par $f,g$ para $T=6$? (b) ¿Existe tal par $f,g$ para $T=7$? Propuesto por Jimin Kim

Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que para todos los números reales $x,y,z$ , \[ f\bigl(xz+1+f(yz-1)\bigr)=z\,f\bigl(f(x+y)\bigr). \] Propuesto por Jimin Kim

Para un entero positivo $n$ , hay una cuadrícula de $n \times n$ dividida en cuadrados unitarios. Hyunwoo coloca baldosas cuadradas de $2 \times 2$ sobre la cuadrícula. Las baldosas se colocan de modo que cada lado de una baldosa siempre esté sobre los bordes de los cuadrados unitarios, y se permite que las baldosas se superpongan. Se dice que una colocación es buena si toda la cuadrícula queda completamente cubierta, pero al retirar cualquier baldosa individual una parte de la cuadrícula quedaría visible. Sea $f(n)$ el número máximo de baldosas utilizadas en una colocación buena. Halle la constante mínima $c$ tal que $f(n) \le cn^2$ se cumple para todo $n$ . Propuesto por Hyunwoo Choi

Sea $\Gamma$ la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ con centro en $O$ , y sean $X$ e $Y$ puntos dentro de $\triangle ABC$ que están sobre la bisectriz del $\angle A$ tales que $\angle BXC+\angle BYC=180^\circ + \angle A.$ La circunferencia con diámetro $AX$ corta nuevamente a $\Gamma , AB, AC$ en $S, S_1$ y $S_2$ , respectivamente. De manera similar, la circunferencia con diámetro $AY$ corta nuevamente a $\Gamma , AB, AC$ en $T, T_1$ y $T_2$ , respectivamente. Sea $N$ el punto medio del arco $BAC$ , y defina $U_1,U_2,V_1,V_2$ como la segunda intersección de $\Gamma$ con $NS_1,NS_2,NT_1$ y $NT_2$ , respectivamente. Denote por $P$ la intersección de las rectas $U_1V_2$ y $U_2V_1$ , y por $Q$ la intersección de $ST$ y $BC$ . Suponga que las dos rectas obtenidas al reflejar la tangente en $A$ a $\Gamma$ con respecto a $OX$ y $OY$ se intersecan en $D$ . Si $ND$ corta nuevamente a $\Gamma$ en $E$ , demuestre que $AE\parallel PQ$ . Propuesto por Wooju Ham

Encuentre la menor constante $A>0$ tal que la siguiente desigualdad se cumple siempre: para todo entero positivo $n$ y enteros $c_1,c_2,\dots,c_n$ , $d_1,d_2,\dots,d_n$ que satisfacen $d_1+d_2+\cdots+d_n=0$ , se cumple la desigualdad $$ \sum_{i=1}^{n}\left( 2\sum_{j=1}^{c_i}\left\lceil \frac{d_i}{c_i}j \right\rceil + \left(-1+2\sum_{j=1}^{i-1} d_j\right)c_i \right) + n < A\left(\sum_{i=1}^{n}\sqrt{c_i^2+d_i^2}\right)^2 $$. Propuesto por Jihoo Lee