1 Determina todos los números de tres dígitos $N$ que tienen la propiedad de que $N$ es divisible por 11, y $\dfrac{N}{11}$ es igual a la suma de los cuadrados de los dígitos de $N$.

6 Considera un cono de revolución con una esfera inscrita tangente a la base del cono. Un cilindro está circunscrito alrededor de esta esfera, de modo que una de sus bases se encuentra en la base del cono. Sea $V_1$ el volumen del cono y $V_2$ el volumen del cilindro. a) Demuestra que $V_1 \neq V_2$; b) Encuentra el menor número $k$ para el cual $V_1=kV_2$; para este caso, construye el ángulo subtendido por un diámetro de la base del cono en el vértice del cono.

4 Construye el triángulo \(ABC\), dados \(h_a\), \(h_b\) (las alturas desde \(A\) y \(B\)), y \(m_a\), la mediana desde el vértice \(A\).

5 Considera el cubo $ABCDA'B'C'D'$ (con la cara $ABCD$ directamente encima de la cara $A'B'C'D'$). a) Encuentra el lugar geométrico de los puntos medios de los segmentos $XY$, donde $X$ es cualquier punto de $AC$ y $Y$ es cualquier punto de $B'D'$; b) Encuentra el lugar geométrico de los puntos $Z$ que están sobre el segmento $XY$ de la parte a) con $ZY=2XZ$.

4 Construye un triángulo rectángulo con hipotenusa dada \(c\) tal que la mediana trazada hacia la hipotenusa sea la media geométrica de los dos catetos del triángulo.

6 Dos planos, $P$ y $Q$, se intersecan a lo largo de la recta $p$. El punto $A$ está dado en el plano $P$, y el punto $C$ en el plano $Q$; ninguno de estos puntos se encuentra sobre la recta $p$. Construye un trapecio isósceles $ABCD$ (con $AB \parallel CD$) en el que se pueda inscribir un círculo, y con los vértices $B$ y $D$ situados en los planos $P$ y $Q$ respectivamente.

7 Dado un trapecio isósceles con bases $a$ y $c$ y altura $h$. a) Sobre el eje de simetría de este trapecio, encuentra todos los puntos $P$ tales que ambos lados no paralelos del trapecio subtiendan ángulos rectos en $P$; b) Calcula la distancia de $p$ a cualquiera de las bases; c) Determina bajo qué condiciones existen realmente tales puntos $P$. Discute los distintos casos que puedan presentarse.

1 Resuelve el sistema de ecuaciones: \[ x+y+z=a \] \[ x^2+y^2+z^2=b^2 \] \[ xy=z^2 \] donde \(a\) y \(b\) son constantes. Da las condiciones que deben satisfacer \(a\) y \(b\) para que \(x,y,z\) sean números positivos distintos.

Sean \( a \), \( b \), \( c \) los lados de un triángulo, y \( S \) su área. Demuestra que: \[ a^{2} + b^{2} + c^{2}\geq 4S \sqrt {3} \] ¿En qué caso se da la igualdad? Iris

3 Resuelve la ecuación $\cos^n{x}-\sin^n{x}=1$ donde $n$ es un número natural.