1 En una mesa de billar con forma de triángulo rectángulo isósceles , una bola comienza a moverse desde uno de los vértices adyacentes a la hipotenusa. Cuando llega a un lado, su trayectoria se refleja. Demuestre que si llegamos a un vértice, entonces no es el vértice de la posición inicial Por Sam Nariman Omid

2 Halle todos los polinomios mónicos $f(x)$ en $\mathbb Z[x]$ tales que $f(\mathbb Z)$ es cerrado bajo la multiplicación. Por Mohsen Jamali Omid

3 Sea $\omega$ la circunferencia inscrita de $ABC$ . $P$ y $Q$ están en $AB$ y $AC$ , tales que $PQ$ es paralela a $BC$ y es tangente a $\omega$ . $AB,AC$ tocan a $\omega$ en $F,E$ . Demuestre que si $M$ es el punto medio de $PQ$ , y $T$ es el punto de intersección de $EF$ y $BC$ , entonces $TM$ es tangente a $\omega$ . Por Ali Khezeli Omid

1 ¿Existe una sucesión $a_{0},a_{1},a_{2},\dots$ en $\mathbb N$ , tal que para cada $i\neq j, (a_{i},a_{j})=1$ , y para cada $n$ , el polinomio $\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$ sea irreducible en $\mathbb Z[x]$ ? Por Omid Hatami Omid

2 Suponga que $n$ rectas en el plano son tales que no hay dos paralelas y no hay tres concurrentes. Para cada dos rectas, su ángulo es un número real en $[0,\frac{\pi}2]$ . Halle el mayor valor de la suma de los $\binom n2$ ángulos entre las rectas. Por Aliakbar Daemi Omid

1 Halle todos los polinomios de grado 3, tales que para cada $x,y\geq 0$ : \[p(x+y)\geq p(x)+p(y)\] Omid

9 $ I_a$ es el excéntrico del triángulo $ ABC$ con respecto a $ A$ , y $ AI_a$ interseca a la circunferencia circunscrita de $ ABC$ en $ T$ . Sea $ X$ un punto en $ TI_a$ tal que $ XI_a^2=XA.XT$ . Trace una recta perpendicular desde $ X$ a $ BC$ de modo que interseca a $ BC$ en $ A'$ . Defina $ B'$ y $ C'$ de la misma manera. Demuestre que $ AA'$ , $ BB'$ y $ CC'$ son concurrentes. Omid

1 En el triángulo $ABC$ , $M$ es el punto medio de $AC$ , y $D$ es un punto en $BC$ tal que $DB=DM$ . Sabemos que $2BC^{2}-AC^{2}=AB.AC$ . Demuestre que \[BD.DC=\frac{AC^{2}.AB}{2(AB+AC)}\] Omid

12 En el triángulo acutángulo $ ABC$ , $ D$ es la intersección de la altura que pasa por $ A$ con $ BC$ e $ I_a$ es el excéntrico del triángulo con respecto a $ A$ . $ K$ es un punto en la prolongación de $ AB$ desde $ B$ , para el cual $ \angle AKI_a=90^\circ+\frac 34\angle C$ . $ I_aK$ interseca la prolongación de $ AD$ en $ L$ . Demuestre que $ DI_a$ biseca al ángulo $ \angle AI_aB$ si y solo si $ AL=2R$ . ( $ R$ es el circunradio de $ ABC$ ) Omid

3 $O$ es un punto dentro del triángulo $ABC$ tal que $OA=OB+OC$ . Suponga que $B',C'$ son los puntos medios de los arcos $AOC$ y $AOB$ . Demuestre que las circunferencias circunscritas $COC'$ y $BOB'$ son tangentes entre sí. Haga clic para revelar el texto oculto redacción corregida