A2 Sean $a, b, c, d$ reales no negativos tales que $\frac{1}{a+3}+\frac{1}{b+3}+\frac{1}{c+3}+\frac{1}{d+3}=1$ . Demuestra que existe una permutación $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ de $(a, b, c, d)$ , tal que $$x_1x_2+x_2x_3+x_3x_4+x_4x_1 \geq 4.$$

G1 Sea $ABCD$ un cuadrilátero circunscrito y sea $X$ el punto de intersección de sus diagonales $AC$ y $BD$. Sean $I_1, I_2, I_3, I_4$ los incentros de $\triangle DXC$, $\triangle BXC$, $\triangle AXB$ y $\triangle DXA$, respectivamente. La circunferencia circunscrita de $\triangle CI_1I_2$ interseca los lados $CB$ y $CD$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente. La circunferencia circunscrita de $\triangle AI_3I_4$ interseca los lados $AB$ y $AD$ en los puntos $M$ y $N$, respectivamente. Demuestra que $AM+CQ=AN+CP$.

G3 En el triángulo $ABC$, el incírculo toca los lados $BC,CA,AB$ en $D,E,F$ respectivamente. Supón que existe un punto $X$ en la recta $EF$ tal que \[\angle{XBC} = \angle{XCB} = 45^{\circ}.\] Sea $M$ el punto medio del arco $BC$ en la circunferencia circunscrita de $ABC$ que no contiene a $A$. Demuestra que la recta $MD$ pasa por $E$ o por $F$. Reino Unido

G4 Sean $O$ y $H$ el circuncentro y el ortocentro de un triángulo escaleno $ABC$, respectivamente. Sea $D$ el punto de intersección de las rectas $AH$ y $BC$. Supón que la recta $OH$ corta al lado $BC$ en $X$. Sean $P$ y $Q$ los segundos puntos de intersección de las circunferencias de los triángulos $BDH$ y $CDH$ con la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$, respectivamente. Muestra que los cuatro puntos $P$, $D$, $Q$ y $X$ están sobre una circunferencia.

G5 Sea $ABC$ un triángulo con circuncentro $O$. El punto $X$ es la intersección de la recta paralela desde $O$ a $AB$ con la recta perpendicular a $AC$ desde $C$. Sea $Y$ el punto donde la bisectriz externa del ángulo $\angle BXC$ interseca a $AC$. Sea $K$ la proyección de $X$ sobre $BY$. Demuestra que las rectas $AK$, $XO$, $BC$ tienen un punto común.

G6 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo ( $AB < BC < AC$ ) con circunferencia circunscrita $\Gamma$ . Supón que existe $X \in AC$ que satisface $AB=BX$ y $AX=BC$ . Se toman puntos $D, E \in \Gamma$ tales que $\angle ADB<90^{\circ}$ , $DA=DB$ y $BC=CE$ . Sea $P$ el punto de intersección de $AE$ con la recta tangente a $\Gamma$ en $B$ , y sea $Q$ el punto de intersección de $AB$ con la recta tangente a $\Gamma$ en $C$ . Muestra que la proyección de $D$ sobre $PQ$ está en la circunferencia circunscrita de $\triangle PAB$ .

N1 Para enteros positivos $a, b, c$ (no necesariamente distintos), supón que $a+bc, b+ac, c+ab$ son todos cuadrados perfectos. Demuestra que $$a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)+2abc$$ se puede escribir como suma de dos cuadrados.

N3 Para cada entero positivo $n$, denota por $\omega(n)$ el número de divisores primos distintos de $n$ (por ejemplo, $\omega(1)=0$ y $\omega(12)=2$). Encuentra todos los polinomios $P(x)$ con coeficientes enteros, tales que siempre que $n$ sea un entero positivo que cumpla $\omega(n)>2023^{2023}$, entonces $P(n)$ también es un entero positivo con \[\omega(n)\ge\omega(P(n)).\] Grecia (Minos Margaritis - Iasonas Prodromidis)

4 Hay una fila de $n{}$ niñas a un lado de una mesa de tenis y una fila de $n{}$ niños al otro lado. Tanto las niñas como los niños están numerados del $1{}$ al $n{}$ en el orden en que se encuentran. El primer juego lo disputan la niña y el niño con el número $1{}$ y luego, después de cada juego, el perdedor va al final de su fila y el ganador permanece en la mesa. Después de un tiempo, resultó que cada niña jugó exactamente un juego con cada niño. Demuestre que si $n{}$ es impar, entonces una niña y un niño con números impares jugaron en el último juego. Propuesto por A. Gribalko

N2 Encuentra todos los enteros positivos \( n \) tales que existen enteros positivos \( a, b, c \) que satisfacen \(\gcd(a, b, c)=1\) y \( n=\gcd(ab+c, ac-b)=a+b+c \).