En el triángulo $ABC$, sean $B'$ y $C'$ los puntos medios de los lados $AC$ y $AB$ respectivamente, y $H$ el pie de la altura que pasa por el vértice $A$. Demuestra que las circunferencias circunscritas de los triángulos $AB'C'$, $BC'H$ y $B'CH$ tienen un punto común $I$, y que la recta $HI$ pasa por el punto medio del segmento $B'C'$.

7 ¿Para qué dígitos $a$ existen enteros $n \geq 4$ tales que cada dígito de $\frac{n(n+1)}{2}$ sea igual a $a$?

8 $M$ es cualquier punto sobre el lado $AB$ del triángulo $ABC$. $r, r_1, r_2$ son los radios de los círculos inscritos en $ABC, AMC, BMC$. $q$ es el radio del círculo en el lado opuesto de $AB$ a $C$, que toca los tres lados de $AB$ y las extensiones de $CA$ y $CB$. De manera similar, $q_1$ y $q_2$. Demuestra que $r_1 r_2 q = r q_1 q_2$.

9 Sean $u_1, u_2, \ldots, u_n, v_1, v_2, \ldots, v_n$ números reales. Demuestra que \[1+ \sum_{i=1}^n (u_i+v_i)^2 \leq \frac 43 \Biggr( 1+ \sum_{i=1}^n u_i^2 \Biggl) \Biggr( 1+ \sum_{i=1}^n v_i^2 \Biggl) .\] Amir

10 Los números reales $a_0,a_1,a_2,\ldots$ satisfacen $1=a_0\le a_1\le a_2\le\ldots.$ Se definen $b_1,b_2,b_3,\ldots$ mediante $b_n=\sum_{k=1}^n{1-{a_{k-1}\over a_k}\over\sqrt a_k}$ . a.) Demuestra que $0\le b_n<2$ . b.) Dado $c$ que satisface $0\le c<2$ , demuestra que podemos encontrar $a_n$ de modo que $b_n>c$ para todo $n$ suficientemente grande.

11 Sean $P,Q,R$ polinomios y sea $S(x) = P(x^3) + xQ(x^3) + x^2R(x^3)$ un polinomio de grado $n$ cuyas raíces $x_1,\ldots, x_n$ son distintas. Construye, con ayuda de los polinomios $P,Q,R$, un polinomio $T$ de grado $n$ que tenga las raíces $x_1^3 , x_2^3 , \ldots, x_n^3.$ Amir

1 Sea $\mathbb Z$ el conjunto de los enteros, y sea $f\colon \mathbb Z \to \mathbb Z$ una función. Demuestre que hay infinitos enteros $c$ tales que la función $g\colon \mathbb Z \to \mathbb Z$ definida por $g(x) = f(x) + cx$ no es biyectiva. Nota: Una función $g\colon \mathbb Z \to \mathbb Z$ es biyectiva si para todo entero $b$ , existe exactamente un entero $a$ tal que $g(a) = b$ .

1 Sean $k$ y $d$ enteros positivos. Demuestre que existe un entero positivo $N$ tal que para todo entero impar $n>N$ , los dígitos en la representación en base $2n$ de $n^k$ son todos mayores que $d$ . KevinYang2.71

5 Sea $H$ el ortocentro del triángulo acutángulo $ABC$ , sea $F$ el pie de la altura desde $C$ hasta $AB$ , y sea $P$ la reflexión de $H$ con respecto a $BC$ . Suponga que la circunferencia circunscrita del triángulo $AFP$ interseca la recta $BC$ en dos puntos distintos $X$ e $Y$ . Demuestre que $C$ es el punto medio de $XY$ . KevinYang2.71

5 Determine, con demostración, todos los enteros positivos $k$ tales que $$\frac{1}{n+1} \sum_{i=0}^n \binom{n}{i}^k$$ es un entero para todo entero positivo $n.$