4 Considere $9$ puntos en el espacio, de los cuales no hay cuatro coplanares. Cada par de puntos está unido por una arista (es decir, un segmento de recta) y cada arista está coloreada de azul o de rojo o queda sin colorear. Halle el menor valor de $\,n\,$ tal que siempre que exactamente $\,n\,$ aristas estén coloreadas, el conjunto de aristas coloreadas contenga necesariamente un triángulo cuyas tres aristas tengan el mismo color.

5 Un cuadrilátero convexo tiene diagonales iguales. Sobre el exterior de cada lado del cuadrilátero se construye un triángulo equilátero. Se unen los centros de los triángulos situados sobre lados opuestos. Demuestre que las dos rectas de unión son perpendiculares. Formulación alternativa: Dado un cuadrilátero convexo $ ABCD$ con diagonales congruentes $ AC = BD.$ Sobre sus lados se construyen exteriormente cuatro triángulos regulares. Demuestre que los segmentos que unen los baricentros de los triángulos sobre lados opuestos son perpendiculares entre sí. Formulación original: Sea $ ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que $ AC = BD.$ Sobre los lados del cuadrilátero se construyen triángulos equiláteros. Sean $ O_1,O_2,O_3,O_4$ los centros de los triángulos construidos sobre $ AB,BC,CD,DA$ respectivamente. Demuestre que $ O_1O_3$ es perpendicular a $ O_2O_4.$

3 Las diagonales de un cuadrilátero $ ABCD$ son perpendiculares: $ AC \perp BD.$ Sobre sus lados se construyen exteriormente cuatro cuadrados, $ ABEF,BCGH,CDIJ,DAKL,$ Los puntos de intersección de los pares de rectas $ CL, DF, AH, BJ$ se denotan por $ P_1,Q_1,R_1, S_1,$ respectivamente (figura izquierda), y los puntos de intersección de los pares de rectas $ AI, BK, CE DG$ se denotan por $ P_2,Q_2,R_2, S_2,$ respectivamente (figura derecha). Demuestre que $ P_1Q_1R_1S_1 \cong P_2Q_2R_2S_2$ donde $ P_1,Q_1,R_1, S_1$ y $ P_2,Q_2,R_2, S_2$ son los dos cuadriláteros. Formulación alternativa: Exteriormente a un cuadrilátero convexo $ ABCD$ de diagonales perpendiculares se construyen cuatro cuadrados $ AEFB, BGHC, CIJD, DKLA,$ (los vértices se dan en orden antihorario). Demuestre que los cuadriláteros $ Q_1$ y $ Q_2$ formados por las rectas $ AG, BI, CK, DE$ y $ AJ, BL, CF, DH,$ respectivamente, son congruentes.

6 Un entero positivo $n$ se llama bonito si existen dos divisores $d_1,d_2$ de $n$ $(1\leq d_1,d_2\leq n)$ tales que $d_2-d_1=d$ para cada divisor $d$ de $n$ (donde $1<d<n$ ) . Halle el menor número bonito mayor que $401$ que sea múltiplo de $401$ .

$ \mathbb Z[x]$$ \{-1,0,1\}$$ x^2-3x+1$$ \{-1,0,1\}$

1 En un triángulo acutángulo $ABC$ , supongamos que las longitudes de los lados satisfacen $BC > AB > AC$ . Sea $I$ el incentro del triángulo, y $D$ el punto de tangencia de la circunferencia inscrita con el lado $BC$ . Sea $G$ el punto de Gergonne del triángulo, y $J$ el conjugado isogonal de $I$ con respecto al triángulo $GBC$ . La recta $IJ$ interseca $AD$ en el punto $X$ . Demuestre que: $AX = 2XD$ . Propuesto por Xiaokun Chen

8 2 jugadores A y B juegan el siguiente juego, comenzando A: En el turno de cada jugador, coloca un número del 1 al 99 entre 99 puntos igualmente espaciados sobre una circunferencia (los números no pueden repetirse), y el jugador que completa 3 números consecutivos que forman una progresión aritmética alrededor de la circunferencia gana el juego. ¿Quién tiene la estrategia ganadora? Explique su razonamiento.

Sean $n, a, b$ enteros positivos con $a > b$ , tales que $n^2 + 1 = ab$ . $a)$ Demuestre que $$a - b \geq \sqrt{4n - 3}. \qquad(\star)$$ $b)$ Halle todos los enteros positivos $n$ para los cuales puede darse la igualdad en $(\star)$ .

Determine el menor entero positivo $n$ para el cual la siguiente afirmación es verdadera: Si los enteros positivos $a$ y $b$ son tales que $a + b$ es un múltiplo de $100$ y $ab$ es un múltiplo de $n$ , entonces cada uno de los números $a$ y $b$ es un múltiplo de $100$ .

$ RBR'B'$$ R$$ R'$$ B$$ B'$$ k$$ k+4$$ RBR'B'$$ R$$ R'$$ B$$ B'$$ n$$ n$$ R$$ R'$$ B$$ B'$$ RBR'B'$$ n$