6 Dado un $n$ -ágono ( $n\ge 4$ ) , considere un conjunto $T$ de triángulos formados por vértices del polígono que tiene la siguiente propiedad: cada dos triángulos de T tienen dos vértices comunes, o ninguno. Demuestre que $T$ contiene a lo sumo $n$ triángulos.

2 Sea $ABC$ un triángulo con $\angle B = 90^o$ y altura $BH$ . Los inradios de $ABC, ABH, CBH$ son $r, r_1, r_2$ . Halle una relación entre ellos.

3 Demuestre que $n^{n-1}-1$ es divisible por $ (n-1)^2$ para $n > 2$ .

4 Calcule $0/1 + 1/1 + 0/2 + 1/2 + 2/2 + 0/3 + 1/3 + 2/3 + 3/3 + 0/4 + 1/4 + 2/4 + 3/4 + 4/4 + 0/5 + 1/5 + 2/5 + 3/5 + 4/5 + 5/5 + 0/6 + 1/6 + 2/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 + 6/6$

5 Dados $19$ puntos en el plano con coordenadas enteras, sin tres colineales, demuestre que siempre podemos encontrar tres puntos cuyo centroide tiene coordenadas enteras.

6 Sea $ABC$ un triángulo con $\angle C = 90^o$ . $E$ es un punto sobre $AC$ , y $F$ es el punto medio de $EC$ . $CH$ es una altura. $I$ es el circuncentro de $AHE$ , y $G$ es el punto medio de $BC$ . Demuestre que $ABC$ y $IGF$ son semejantes.

5 Sean $C_1$ y $C_2$ dos circunferencias unitarias tangentes dentro de una circunferencia $C$ de radio $2$ . La circunferencia $C_3$ dentro de $C$ es tangente a las circunferencias $C,C_1,C_2$ , y la circunferencia $C_4$ dentro de $C$ es tangente a $C,C_1,C_3$ . Demuestre que los centros de $C,C_1,C_3$ y $C_4$ son vértices de un rectángulo.

2 Halle dos enteros positivos $a,b$ tales que $a | b^2, b^2 | a^3, a^3 | b^4, b^4 | a^5$ , pero $a^5$ no divide a $b^6$

1 En un triángulo $ABC$ el área es $18$ , la longitud $AB$ es $5$ , y las medianas desde $A$ y $B$ son ortogonales. Halle las longitudes de los lados $BC,AC$ .

4 Halle el menor número natural posible $n = \overline{a_m ...a_2a_1a_0} $ (en el sistema decimal) tal que el número $r = \overline{a_1a_0a_m ..._20} $ sea igual a $2n$ .