14 Sea $ABCD$ un tetraedro tal que $AB = CD = \sqrt{41}$ , $AC = BD = \sqrt{80}$ y $BC = AD = \sqrt{89}$ . Existe un punto $I$ dentro del tetraedro tal que las distancias desde $I$ a cada una de las caras del tetraedro son todas iguales. Esta distancia puede escribirse en la forma $\frac{m \sqrt{n}}{p}$ , donde $m$ , $n$ y $p$ son enteros positivos, $m$ y $p$ son primos relativos, y $n$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halle $m+n+p$ .

2 En cada casilla de un tablero de $ 60 \times 60$ está escrito un número real, cuyo valor absoluto es menor o igual que $ 1$ . La suma de todos los números del tablero es igual a $ 600$ . Demuestre que hay un cuadrado de $ 12 \times 12$ en el tablero tal que el valor absoluto de la suma de todos los números que contiene es menor o igual que $ 24$ .

2 Las piezas de un juego son cuadrados de lado $1$ con sus lados coloreados con $4$ colores: azul, rojo, amarillo y verde, de modo que cada pieza tiene un lado de cada color. Hay piezas de todas las disposiciones de colores posibles, y el juego tiene un millón de piezas de cada tipo. Con las piezas se arman rompecabezas rectangulares, sin huecos ni superposiciones, de modo que dos piezas que comparten un lado tengan ese lado del mismo color. Determine si con este procedimiento se puede formar un rectángulo de $99\times 2007$ con un lado de cada color. ¿Y de $100\times 2008$ ? ¿Y de $99\times 2008$ ?

13 Sea $p$ el menor número primo para el cual existe un entero positivo $n$ tal que $n^{4}+1$ es divisible por $p^{2}$ . Halle el menor entero positivo $m$ tal que $m^{4}+1$ es divisible por $p^{2}$ .

4 Halle todos los números reales $ x$ que satisfacen la siguiente ecuación: $ [2x]+[3x]+[7x]=2008$ . Nota: $ [x]$ denota el mayor entero menor o igual que $ x$ .

5 Halle todas las potencias perfectas cuyas últimas $ 4$ cifras son $ 2,0,0,8$ , en ese orden.

3 Sea $ ABCD$ un paralelogramo con $ AB>AD$ . Suponga que la razón entre las diagonales $ AC$ y $ BD$ es $ \frac {AC} {BD}=3$ . Sea $ r$ la recta simétrica de $ AD$ con respecto a $ AC$ y $ s$ la recta simétrica de $ BC$ con respecto a $ BD$ . Si $ r$ y $ s$ se intersectan en $ P$ , halle la razón $ \frac {PA} {PB}$ Daniel

1 Halle todos los números primos $p$ y $q$ tales que $ p^2+q=37q^2+p $ . Aclaración: $1$ no es un número primo.

4 Se dan $10$ números reales $a_1,a_2,\ldots ,a_{10} $ , y se forman las $45$ sumas de dos de estos números $a_i+a_j $ , $1\leq i<j\leq 10$ . Se sabe que no todas estas sumas son enteros. Determine el valor mínimo de $k$ tal que es posible que entre las $45$ sumas haya $k$ que no sean enteros y $45-k$ que sean enteros.

5 Diremos que un entero positivo es afortunado si la suma de sus dígitos es divisible por $31$ . ¿Cuál es la diferencia máxima posible entre dos números afortunados consecutivos?