9 Sean $B = (-1, 0)$ y $C = (1, 0)$ puntos fijos en el plano coordenado. Se dice que un subconjunto no vacío y acotado $S$ del plano es agradable si $\text{(i)}$ existe un punto $T$ en $S$ tal que para todo punto $Q$ en $S$ , el segmento $TQ$ está completamente contenido en $S$ ; y $\text{(ii)}$ para cualquier triángulo $P_1P_2P_3$ , existe un único punto $A$ en $S$ y una permutación $\sigma$ de los índices $\{1, 2, 3\}$ para los cuales los triángulos $ABC$ y $P_{\sigma(1)}P_{\sigma(2)}P_{\sigma(3)}$ son semejantes. Demuestre que existen dos subconjuntos agradables distintos $S$ y $S'$ del conjunto $\{(x, y) : x \geq 0, y \geq 0\}$ tales que si $A \in S$ y $A' \in S'$ son las elecciones únicas de puntos en $\text{(ii)}$ , entonces el producto $BA \cdot BA'$ es una constante independiente del triángulo $P_1P_2P_3$ .

10 Sea $ABC$ un triángulo con $AB = \frac{AC}{2 }+ BC$ . Considere los dos semicírculos exteriores al triángulo con diámetros $AB$ y $BC$ . Sea $X$ la proyección ortogonal de $A$ sobre la recta tangente común de esos semicírculos. Halle $\angle CAX$ .

11 Para cualquier entero positivo $k$ , denote con $k$ la suma de las cifras de $S(k)$ en su representación decimal. Halle todos los polinomios $P(x)$ con coeficientes enteros tales que para cualquier entero positivo $n \geq 2016$ , el entero $P(n)$ sea positivo y $$S(P(n)) = P(S(n)).$$ Propuesto por Warut Suksompong, Thailand

12 Sea $n \geq 3$ un entero positivo. Halle el número máximo de diagonales de un $n$ - gono regular que se pueden seleccionar de modo que cualesquiera dos de ellas no se intersequen en el interior o sean perpendiculares entre sí.

4 Sea $D$ el punto distinto de $B$ sobre la hipotenusa $AB$ de un triángulo rectángulo $ABC$ tal que $|CB| = |CD|$ . Sea $O$ el circuncentro del triángulo $ACD$ . Los rayos $OD$ y $CB$ se intersecan en el punto $P$ , y la recta que pasa por el punto $O$ perpendicular al lado AB y el rayo $CD$ se intersecan en el punto $Q$ . Los puntos $A, C, P, Q$ son concíclicos. ¿Esto implica que $ACPQ$ es un cuadrado?

1 Hay $k$ montones sobre la mesa, cada uno con un número positivo diferente de piedras. Juri y Mari hacen jugadas alternadamente; Juri comienza. En cada jugada, el jugador que juega debe elegir un montón y retirar de la mesa una o más piedras de él; además, se le permite distribuir cualquier número de las piedras restantes de ese montón de cualquier manera entre los otros montones no vacíos. El jugador que retira la última piedra de la mesa gana. ¿Para qué enteros positivos $k$ tiene Juri una estrategia ganadora para cualquier estado inicial que satisfaga las condiciones?

5 Sea $O$ el circuncentro del triángulo acutángulo $ABC$ . Sean $c_1$ y $c_2$ las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABO$ y $ACO$ . Sean $P$ y $Q$ puntos de $c_1$ y $c_2$ respectivamente, tales que OP es un diámetro de $c_1$ y $OQ$ es un diámetro de $c_2$ . Sea $T$ la intersección de la tangente a $c_1$ en $P$ y la tangente a $c_2$ en $Q$ . Sea $D$ la segunda intersección de la recta $AC$ con la circunferencia $c_1$ . Demuestre que los puntos $D, O$ y $T$ son colineales

6 Una circunferencia queda dividida en arcos de igual tamaño por $n$ puntos ( $n \ge 1$ ) . Para cualquier entero positivo $x$ , sea $P_n(x)$ el número de posibilidades de colorear todos esos puntos, usando colores de entre $x$ colores dados, de modo que cualquier rotación del coloreado en $ i \cdot \frac{360^o}{n}$ , donde i es un entero positivo menor que $n$ , produzca un coloreado que difiera del original en al menos un punto. Demuestre que la función $P_n(x)$ es un polinomio con respecto a $x$ .

8 Sean $x, y$ y $z$ números reales positivos tales que $x + y + z = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}$ . Demuestre que $xy + yz + zx \ge 3$ .

9 Sea $n$ un entero positivo tal que existe un entero positivo menor que $\sqrt{n}$ que no divide a $n$ . Sea $(a_1, . . . , a_n)$ una permutación arbitraria de $1, . . . , n$ . Sea $a_{i1} < . . . < a_{ik}$ su subsucesión creciente maximal y sea $a_{j1} > . . . > a_{jl}$ su subsucesión decreciente maximal. Demuestre que las tuplas $(a_{i1}, . . . , a_{ik})$ y $(a_{j1}, . . . , a_{jl} )$ contienen en conjunto al menos un número que no divide a $n$ .