1 Se da un ángulo agudo $XAY$ y un punto $P$ dentro del ángulo. Construye (con regla y compás) una recta que pase por $P$ y corte los rayos $AX$ y $AY$ en $B$ y $C$ de modo que el área del triángulo $ABC$ sea igual a $AP^2$. Grecia Valentin

1 Sea ${a_n}$ la sucesión de números racionales definida por $a_0 = 2021,$ y $a_{n+1}=a_{n}+\frac{2}{a_{n}},$ para todo $n \geq 0.$ ¿Puede algún $a_{n}, n \geq 1,$ ser un cuadrado de un número racional?

1 Un número de tres cifras $\overline{abc}$, con $a\neq 0$ y $b\neq 0$, es bacana si los números de dos cifras $\overline{ab}, \overline{bc}, \overline{ac}$ son divisores de $\overline{abc}$. Encuentra todos los números bacanas.

L1

1 Determina todos los pares $(a, b)$ de enteros positivos para los cuales $\frac{a^2b+b}{ab^2+9}$ es un número entero.

L2

8 Sea $n\ge 2$ un entero. Determina el número de enteros positivos $m$ tales que $m\le n$ y $m^2+1$ es divisible por $n$.

11 Considere un triángulo $ABC$ con $AB=AC$ , y $D$ el pie de la altura desde el vértice $A$ . El punto $E$ está sobre el lado $AB$ tal que $\angle ACE= \angle ECB=18^{\circ}$ . Si $AD=3$ , halle la longitud del segmento $CE$ .

3 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo de área 1. Demuestra que el triángulo cuyos vértices son los pies de las perpendiculares desde el centroide $G$ a $AB$, $BC$, $CA$ tiene área entre $\frac 4{27}$ y $\frac 14$. Valentin

Sea $\{a_n\}_{n\geq 0}$ una sucesión no decreciente y no acotada de enteros no negativos con $a_0=0$. Sea $b_n$ el número de miembros de la sucesión que no exceden a $n$. Demuestra que \[ (a_0 + a_1 + \cdots + a_m)( b_0 + b_1 + \cdots + b_n ) \geq (m + 1)(n + 1). \] Valentin