5 Los números del $1$ al $n^2$ se escriben en un papel cuadriculado n×n en el orden usual. Cualquier sucesión de pasos hacia la derecha y hacia abajo de una casilla a una adyacente (por lado) que comienza en la casilla $1$ y termina en la casilla $n^2$ se llama un camino. Denote por $L(C)$ la suma de los números por los que pasa el camino $C$ . (a) Para un $n$ fijo, sean $M$ y $m$ el mayor y el menor $L(C)$ posibles. Demuestre que $M-m$ es un cubo perfecto. (b) Demuestre que para ningún $n$ puede encontrarse un camino $C$ con $L(C ) = 1996$ .

4 ¿Para qué enteros $n\ge 2$ pueden escribirse los números del $1$ al $16$ , cada uno en una casilla de un papel cuadriculado de $4\times 4$ , de modo que las $8$ sumas de los números en filas y columnas sean todas diferentes y divisibles por $n$ ?

3 $A, B, C, D$ son vértices consecutivos de un polígono regular de $7$ lados. $AL$ y $AM$ son tangentes a la circunferencia de centro $C$ y radio $CB$ . $N$ es el punto de intersección de $AC$ y $BD$ . Demuestre que $L, M, N$ son colineales.

2 Considere 6 puntos en un plano tales que 8 de las distancias entre ellos son iguales a 1. Demuestre que hay al menos 3 puntos que forman un triángulo equilátero.

1 $N$ estudiantes están sentados en pupitres dispuestos en un arreglo de $m \times n$ , donde $m, n \ge 3$ . Cada estudiante da la mano a los estudiantes que están adyacentes horizontal, vertical o diagonalmente. Si hay $1020 $ apretones de manos, ¿cuánto vale $N$ ?

1 La sucesión $1, 2, 4, 5, 7, 9 ,10, 12, 14, 16, 17, ... $ se forma como sigue. Primero tomamos un número impar, luego dos números pares, luego tres números impares, luego cuatro números pares, y así sucesivamente. Halle el número de la sucesión más cercano a $1994$ .

5 $ABCD$ es un cuadrilátero convexo. Tome los $12$ puntos que son los pies de las alturas en los triángulos $ABC, BCD, CDA, DAB$ . Demuestre que al menos uno de estos puntos debe estar sobre los lados de $ABCD$ .

5 $ABCDE$ es un pentágono convexo tal que los triángulos $ABC, BCD, CDE, DEA$ y $EAB$ tienen áreas iguales. Demuestre que $(1/4)$ área $(ABCDE) <$ área $(ABC) < (1/3)$ área $(ABCDE)$ .

2 Los $12$ números de la esfera de un reloj se reordenan. Demuestre que aún podemos encontrar tres números adyacentes cuya suma sea $21$ o más.

6 Un $1$ o un $0$ se coloca en cada casilla de un tablero de $4 \times 4$ . Se permite cambiar todos los símbolos de una fila, o cambiar todos los símbolos de una columna, o cambiar todos los símbolos de una diagonal (hay $14$ diagonales de longitudes $1$ a $4$ ) . ¿Para qué arreglos pueden hacerse cambios que terminen con todos los $0$ s ?