3 Sea $k$ un entero positivo, y sea $s(n)$ la suma de los dígitos de $n$ . Demuestre que entre los enteros positivos con $k$ dígitos, hay tantos números $n$ que satisfacen $s(n) < s(2n)$ como números $n$ que satisfacen $s(n) > s(2n)$ .

4 Sea $\Gamma_1$ un círculo con centro $A$ y sea $\Gamma_2$ un círculo con centro $B$ , con $A$ sobre $\Gamma_2$ . En $\Gamma_2$ hay un punto (variable) $P$ que no está sobre $AB$ . Una recta que pasa por $P$ es tangente a $\Gamma_1$ en $S$ , e interseca a $\Gamma_2$ nuevamente en $Q$ , estando $P$ y $Q$ en el mismo lado de $AB$ . Una recta diferente que pasa por $Q$ es tangente a $\Gamma_1$ en $T$ . Además, sea $M$ el pie de la perpendicular a $AB$ que pasa por $P$ . Sea $N$ la intersección de $AQ$ y $MT$ . Demuestre que $N$ se encuentra sobre una recta independiente de la posición de $P$ en $\Gamma_2$ .

2 Determine todos los polinomios P(x) con coeficientes reales tales que [(x + 1)P(x − 1) − (x − 1)P(x)] es un polinomio constante.

3 Sea $\vartriangle ABC$ un triángulo isósceles con $|AB| = |AC|$ . Sean $D, E$ y $F$ puntos en los segmentos $BC, CA$ y $AB$ , respectivamente, tales que $|BF| = |BE|$ y tales que $ED$ es la bisectriz interna del ángulo $\angle BEC$ . Demuestre que $|BD|= |EF|$ si y solo si $|AF| = |EC|$ .

3 Sea $n$ un entero positivo. Considere las sucesiones $a_0, a_1, ..., a_k$ y $b_0, b_1,,..,b_k$ tales que $a_0 = b_0 = 1$ y $a_k = b_k = n$ y tales que para todo $i$ con $1 \le i \le k $ , tenemos que $(a_i, b_i)$ es igual a $(1 + a_{i-1}, b_{i-1})$ o a $(a_{i-1}; 1 + b_{i-1})$ . Considere para $1 \le i \le k$ el número $c_i = \begin{cases} a_i \,\,\, if \,\,\, a_i = a_{i-1} \\ b_i \,\,\, if \,\,\, b_i = b_{i-1}\end{cases}$ Muestre que $c_1 + c_2 + ... + c_k = n^2 - 1$ .

4 Sean $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ circunferencias — con centros respectivos $O_1$ y $O_2$ — que se intersecan entre sí en $A$ y $B$ . La recta $O_1A$ interseca a $\Gamma_2$ en $A$ y $C$ y la recta $O_2A$ interseca a $\Gamma_1$ en $A$ y $D$ . La recta que pasa por $B$ paralela a $AD$ interseca a $\Gamma_1$ en $B$ y $E$ . Suponga que $O_1A$ es paralela a $DE$ . Muestre que $CD$ es perpendicular a $O_2C$ .

1 Sean $a$ y $b$ dos enteros positivos que satisfacen $gcd(a, b) = 1$ . Considere una ficha situada en el punto de la cuadrícula $(x, y)$ . Un paso de tipo A consiste en mover la ficha a uno de los siguientes puntos de la cuadrícula: $(x+a, y+a),(x+a,y-a), (x-a, y + a)$ o $(x - a, y - a)$ . Un paso de tipo B consiste en mover la ficha a $(x + b,y + b),(x + b,y - b), (x - b,y + b)$ o $(x - b,y - b)$ . Ahora coloque una ficha en $(0, 0)$ . Se puede hacer un número (finito) de pasos, alternando de tipo A y tipo B, comenzando con un paso de tipo A. Se puede hacer un número par o impar de pasos, es decir, el último paso podría ser de tipo A o de tipo B. Determine el conjunto de todos los puntos de la cuadrícula $(x,y)$ que se pueden alcanzar con tal serie de pasos.

2 Determine todos los enteros positivos $n$ para los cuales existen enteros positivos $a_1,a_2, ..., a_n$ con $a_1 + 2a_2 + 3a_3 +... + na_n = 6n$ y $\frac{1}{a_1}+\frac{2}{a_2}+\frac{3}{a_3}+ ... +\frac{n}{a_n}= 2 + \frac1n$

4 Cada uno de los números $1$ hasta $2014$ inclusive debe ser coloreado; la mitad de ellos debe ser coloreada de rojo y la otra mitad de azul. Luego se considera el número $k$ de enteros positivos que son expresables como la suma de un número rojo y un número azul. Determine el valor máximo de $k$ que se puede obtener.

5 Sea $N$ el conjunto de los enteros positivos. Halle todas las funciones $f: N\to N$ con $f (1) = 2$ y tales que $max \{f(m)+f(n), m+n\}$ divide a $min\{2m+2n,f (m+ n)+1\}$ para todos los enteros positivos $m, n$