2 Para cada $n$ halle el número de maneras de colocar los números $\{1,2,3,...,n\}$ en el círculo, tales que si para cualesquiera $4$ números $a,b,c,d$ con $n|a+b-c-d$, los segmentos que unen $a,b$ y $c,d$ no se cortan dentro del círculo. (Se dice que dos maneras son idénticas si una se puede obtener de la otra mediante una rotación.) Mr.C

2 Demuestre que para todo número primo $p$ existen infinitos números naturales $n$ que satisfacen: $2^{2^{2^{ \dots ^{2^n}}}} \equiv n^{2^{2^{\dots ^{2}}}} (mod p)$, donde en ambos lados el $2$ aparece $1397$ veces.

4 ¿Cuál es el número máximo de subconjuntos de tamaño $5$ tomados del conjunto $A=\{1,2,3,...,20\}$ tales que cualesquiera $2$ de ellos comparten exactamente $1$ elemento? Mr.C

2 Dado un triángulo acutángulo $ABC$ , sea $AD$ una altura y $H$ el ortocentro. Sea $E$ la reflexión de $H$ respecto a $A$ . El punto $X$ se elige sobre la circunferencia circunscrita del triángulo $BDE$ tal que $AC\| DX$ y el punto $Y$ se elige sobre la circunferencia circunscrita del triángulo $CDE$ tal que $DY\| AB$ . Demuestre que la circunferencia circunscrita del triángulo $AXY$ es tangente a la de $ABC$ .

2 Halle todos los polinomios $P$ con coeficientes enteros tales que todas las raíces de $P^n(x)$ son enteros. (Aquí $P^n(x)$ significa $P(P(...(P(x))...))$ donde $P$ se repite $n$ veces.) Mr.C

3 Halle todas las funciones $f$ de los enteros positivos en sí mismos tales que se cumple lo siguiente. $1)$ . para cada entero positivo $n$ tenemos $f(n)<f(n+1)<f(n)+2020$ . $2)$ . para cada entero positivo $n$ tenemos $S(f(n))=f(S(n))$ donde $S(n)$ es la suma de los dígitos de $n$ en su representación en base $10$. Mr.C

2 Halle todas las funciones $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ tales que para cualesquiera tres números reales $a,b,c$, si $ a + f(b) + f(f(c)) = 0$, entonces: $$ f(a)^3 + bf(b)^2 + c^2f(c) = 3abc $$ . Propuesto por Amirhossein Zolfaghari

3 Dado un número natural $d$. Halle todos los intervalos abiertos de longitud máxima $I \subseteq R$ tales que para todos los números reales $a_0,a_1,...,a_{2d-1}$ dentro del intervalo $I$, el polinomio $P(x)=x^{2d}+a_{2d-1}x^{2d-1}+...+a_1x+a_0$ no tiene raíces reales.

1 Hossna está jugando con una cuadrícula de puntos de $m*n$. En cada turno dibuja segmentos entre puntos con las siguientes condiciones. **1.** Ningún par de segmentos se interseca. **2.** Cada segmento se dibuja entre dos filas consecutivas. **3.** Hay a lo sumo un segmento entre cualesquiera dos puntos. Halle el número máximo de regiones que Hossna puede crear.

3 Las casillas de un cuadrado de $n*n$ se llenan con enteros positivos de manera que en la intersección de la $i-$ésima columna y la $j-$ésima fila se escribe el número $i+j$. En cada paso, podemos elegir dos rectángulos iguales y no intersecantes con una dimensión igual a $n$ e intercambiar todos los números dentro de estos dos rectángulos entre sí (sin reflexión ni rotación). Halle el número mínimo de movimientos que se deben hacer para alcanzar la posición donde en la intersección de la $i-$ésima columna y la $j-$ésima fila se escribe $2n+2-i-j$.