2 Suponga que hay $n$ puntos en un plano, sin tres de ellos colineales, con la propiedad de que si etiquetamos estos puntos como $A_1,A_2,\ldots,A_n$ de cualquier manera, la línea poligonal $A_1A_2\ldots A_n$ no se interseca a sí misma. Halle el valor máximo de $n$ . Dinu Serbanescu, Romania Valentin

4 Halle el menor número natural no nulo n tal que existan números reales $x_1, x_2,..., x_n$ que verifiquen simultáneamente las condiciones: 1) $x_i \in [1/2 , 2]$ , $i = 1, 2,... , n$ 2) $x_1+x_2+...+x_n \ge \frac{7n}{6}$ 3) $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}\ge \frac{4n}{3}$

1 Halle todos los números positivos $x$ tales que: $$\frac{1}{[x]}-\frac{1}{[2x]}=\frac{1}{6\{x\}}$$ donde $[x]$ representa la parte entera de $x$ y $\{x\}=x-[x]$ .

1 Para cada entero positivo $n$ consideramos la sucesión de $2004$ enteros $$\left [n+\sqrt{n}\right ],\left [n+1+\sqrt{n+1}\right ],\left [n+2+\sqrt{n+2}\right ],\ldots ,\left [n+2003+\sqrt{n+2003}\right ]$$ Determine el menor entero $n$ tal que los $2004$ números de la sucesión sean $2004$ enteros consecutivos. Aclaración: Los corchetes indican la parte entera.

6 Decida si es posible generar una sucesión infinita de enteros positivos $a_n$ tal que en la sucesión no haya tres términos en progresión aritmética y que para todo $n$ $\left |a_n-n^2\right | <\frac{n}{2}$ . Aclaración: Tres números $a$ , $b$ , $c$ están en progresión aritmética si y solo si $2b=a+c$ .

4 Determine todos los enteros positivos $a$ y $b$ tales que cada casilla del tablero de $a\times b$ puede colorearse de rojo, azul o verde de modo que cada casilla roja tenga exactamente un vecino azul y un vecino verde, cada casilla azul tenga exactamente un vecino rojo y uno verde, y cada casilla verde tenga exactamente un vecino rojo y uno azul. Aclaración: Dos casillas son vecinas si tienen un lado común.

2 Determine todos los enteros positivos $a,b,c,d$ tales que $$\begin{cases} a<b \\ a^2c =b^2d \\ ab+cd =2^{99}+2^{101} \end{cases}$$

10 Sea $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8$ un octágono cíclico. Sea $B_i$ la intersección de $A_iA_{i+1}$ y $A_{i+3}A_{i+4}$ . (Tome $A_9 = A_1$ , $A_{10} = A_2$ , etc.) Demuestre que $B_1, B_2, \ldots , B_8$ están sobre una cónica. David Yang.

3 Se colocan ceros y unos en cada casilla de un tablero rectangular. Se dice que tal tablero es variado si cada fila contiene al menos un $0$ y al menos dos $1$ s . Dado n $\geq 3,$ halle todos los enteros $k>1$ con la siguiente propiedad: Las columnas de cada tablero variado de $k$ filas y n columnas pueden permutarse de modo que en cada fila del nuevo tablero los $1$ s no formen un bloque (es decir, hay al menos dos $1$ s separados por uno o más $0$ s ).

2 En el pizarrón están escritos los $2003$ enteros del $1$ al $2003$ . Lucas debe borrar $90$ números. Luego, Mauro debe elegir $37$ de los números que quedan escritos. Si los $37$ números que elige Mauro forman una progresión aritmética, gana Mauro. Si no, gana Lucas. Decida si Lucas puede elegir los $90$ números que borra de manera que la victoria esté asegurada.