5 Determine el valor máximo de $ k $ tal que, para números reales positivos $ a,b $ y $ c $ , de la desigualdad $ kabc >a^3+b^3+c^3 $ se sigue que $ a,b $ y $ c $ son lados de un triángulo.

6 Resuelva en enteros : $x^6+x^2y=y^3+2y^2$

7 Sea O el centro de la circunferencia W . Dos cuerdas iguales AB y CD de W se intersecan en L de modo que AL>LB y DL>LC . Sean M y N puntos sobre AL y DL , respectivamente, tales que ( ALC )=2*( MON ) . Demuestre que la cuerda de W que pasa por M y N es igual a AB y a CD .

8 Sea $n$ un entero mayor que 2. Se dice que un entero positivo es alcanzable si es 1 o puede obtenerse a partir de 1 mediante una sucesión de operaciones con las siguientes propiedades: 1.) La primera operación es una suma o una multiplicación. 2.) Después, las sumas y las multiplicaciones se usan alternadamente. 3.) En cada suma, se puede elegir independientemente sumar 2 o $n$ . 4.) En cada multiplicación, se puede elegir independientemente multiplicar por 2 o por $n$ . Un entero positivo que no puede obtenerse de esta manera se dice inalcanzable . a.) Demuestre que si $n\geq 9$ , hay infinitos enteros positivos inalcanzables. b.) Demuestre que si $n=3$ , todos los enteros positivos excepto 7 son alcanzables.

5 ¿Existe una sucesión infinita de números reales positivos $x_1,x_2,...,x_n$ que satisfaga para todo $n\ge 1$ la relación $x_{n+2}= \sqrt{x_{n+1}}-\sqrt{x_n}$ ?

7 En el plano están marcados $n+1$ puntos, de los cuales no hay tres sobre una misma recta. ¿Para qué natural $k$ pueden unirse con segmentos de modo que para cualesquiera $n$ puntos marcados haya exactamente $k$ segmentos cuyos extremos estén en esos puntos?

8 a) Demuestre que para ningún real a tal que $0 \le a <1$ existe una función definida en el conjunto de todos los números positivos y con valores en ese mismo conjunto, que satisfaga para todo $x$ positivo la igualdad $$f\left(f(x)+\frac{1}{f(x)}\right)=x+a \,\,\,\,\,\,\, (*) $$ b) Demuestre que para cualquier $a>1$ hay infinitas funciones definidas en el conjunto de todos los números positivos, con valores en ese mismo conjunto, que satisfacen ( $*$ ) para todo x positivo.

1 $$Problem1:$$ Se da un número de dos cifras que no es múltiplo de $10$ . Suponiendo que es divisible por la suma de sus cifras, demuestre que también es divisible por $3$ . ¿Vale el enunciado también para números de tres cifras?

2 Se da una sucesión $(a_n)_{-\infty}^{-\infty}$ de ceros y unos. Se sabe que $a_n = 0$ si y solo si $a_{n-6} + a_{n-5} +...+ a_{n-1}$ es un múltiplo de $3$ , y no todos los términos de la sucesión son cero. Determine el número máximo posible de ceros entre $a_0,a_1,...,a_{97}$ .

4 $$Problem 4 $$ Sobre una pizarra se dibujan las rectas $k,l,m$ que se intersecan entre sí en tres puntos distintos. Bob recuerda que en algún sistema de coordenadas las rectas $ k,l,m$ tienen las ecuaciones $y = ax, y = bx$ y $y = c +2\frac{ab}{a+b}x$ (donde $ab(a + b)$ es distinto de cero). Desafortunadamente, ambos ejes están borrados. Además, Bob recuerda que falta una recta $n$ ( $y = -ax + c$ ) , pero ha olvidado $a,b,c$ . ¿Cómo puede reconstruir la recta $n$ ?