4 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Suponga que se construyen triángulos isósceles semejantes $APB, BQC, CRD, DSA$ con las bases sobre los lados de $ABCD$ en el exterior del cuadrilátero, tales que $PQRS$ es un rectángulo pero no un cuadrado. Demuestre que $ABCD$ es un rombo.

3 Las alturas de un triángulo tienen longitud entera y su inradio es un número primo. Halle todos los valores posibles de los lados del triángulo.

2 Para cada entero positivo $ n$ , defina $ f(n)=lcm(1,2,...,n)$ . (a)Demuestre que para todo $ k$ existen $ k$ enteros positivos consecutivos en los cuales $ f$ es constante. (b)Halle la cardinalidad máxima posible de un conjunto de enteros positivos consecutivos en el cual $ f$ es estrictamente creciente y halle todos los conjuntos para los cuales se alcanza este máximo.

1 Dados los círculos \( \omega_1 \) y \( \omega_2 \) que se intersectan en los puntos \( X \) y \( Y \), sea \( \ell_1 \) una recta que pasa por el centro de \( \omega_1 \) e intersecta a \( \omega_2 \) en los puntos \( P \) y \( Q \), y sea \( \ell_2 \) una recta que pasa por el centro de \( \omega_2 \) e intersecta a \( \omega_1 \) en los puntos \( R \) y \( S \). Demuestra que si \( P, Q, R \) y \( S \) están sobre un círculo, entonces el centro de este círculo se encuentra sobre la recta \( XY \).

1 ¿Cuántas coloraciones de un $n$ - gono con $p \ge 2$ colores existen tales que no haya dos vértices vecinos con el mismo color?

4 Halle una sucesión de enteros positivos $f(n)$ ( $n \in \mathbb{N}$ ) tal que: (i) $f(n) \leq n^8$ para todo $n \geq 2$ ; (ii) para cualesquiera $a_1, \cdots, a_k, n$ distintos, $f(n) \neq f(a_1) + \cdots+ f(a_k)$ .

3 Sea $f$ un polinomio mónico irreducible (en $Z[x]$ ) con coeficientes enteros y de grado impar mayor que $1$ . Suponga que los módulos de las raíces de $f$ son mayores que $1$ y que $f(0)$ es un número libre de cuadrados. Demuestre que el polinomio $g(x) = f(x^3)$ también es irreducible.

1 Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo, y sean $P= AB \cap CD$ , $Q = CD \cap EF$ , $R = EF \cap AB$ , $S = BC \cap DE$ , $T = DE \cap FA$ , $U = FA \cap BC$ . Demuestre que $\frac{PQ}{CD} = \frac{QR}{EF} = \frac{RP}{AB}$ si y solo si $\frac{ST}{DE} = \frac{TU}{FA} = \frac{US}{BC}$

3 Sean $n \geq 6$ y $3 \leq p < n - p$ dos enteros. Los vértices de un $n$ - gono regular se colorean de modo que $p$ vértices son rojos y los demás son negros. Demuestre que existen dos polígonos congruentes con al menos $[p/2] + 1$ vértices, uno con todos los vértices rojos y el otro con todos los vértices negros.

$n^2+1$$n^2+1$$k^2+1$$1$