N2 Demuestra que no existen enteros positivos distintos $x$ y $y$ tales que $x^{2007} + y! = y^{2007} + x! $

G3 Sea $ A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}$ un pentágono convexo, tal que \[ [A_{1}A_{2}A_{3}] = [A_{2}A_{3}A_{4}] = [A_{3}A_{4}A_{5}] = [A_{4}A_{5}A_{1}] = [A_{5}A_{1}A_{2}].\] Demuestra que existe un punto $ M$ en el plano del pentágono tal que \[ [A_{1}MA_{2}] = [A_{2}MA_{3}] = [A_{3}MA_{4}] = [A_{4}MA_{5}] = [A_{5}MA_{1}].\] Aquí $ [XYZ]$ denota el área del triángulo $ \Delta XYZ$ . Valentin

1 Sea $ P $ un punto en el interior de un triángulo $ ABC $, y sean $ D, E, F $ los puntos de intersección de la recta $ AP $ con el lado $ BC $ del triángulo, de la recta $ BP $ con el lado $ CA $, y de la recta $ CP $ con el lado $ AB $, respectivamente. Demuestra que el área del triángulo $ ABC $ debe ser $ 6 $ si el área de cada uno de los triángulos $ PFA, PDB $ y $ PEC $ es $ 1 $.

2 En cada casilla de una cuadrícula cuadrada de $ 2012 \times 2012 $ se inserta un número real mayor o igual que $ 0 $ y menor o igual que $ 1 $. Considera dividir la cuadrícula en $2$ rectángulos no vacíos formados por casillas de la cuadrícula, trazando una línea paralela al lado horizontal o al lado vertical de la cuadrícula. Supón que para al menos uno de los rectángulos resultantes la suma de los números en las casillas dentro del rectángulo es menor o igual que $ 1 $, sin importar cómo se divida la cuadrícula en $2$ rectángulos de este tipo. Determina el valor máximo posible para la suma de todos los $ 2012 \times 2012 $ números insertados en las casillas.

3 Determina todos los pares $(p, n)$ de un número primo $p$ y un entero positivo $n$ para los cuales $\frac{n^p + 1}{p^n + 1}$ es un entero.

4 Sea $ ABC $ un triángulo acutángulo. Denotemos por $ D $ el pie de la perpendicular trazada desde el punto $ A $ al lado $ BC $, por $ M $ el punto medio de $ BC $, y por $ H $ el ortocentro de $ ABC $. Sea $ E $ el punto de intersección de la circunferencia circunscrita $ \Gamma $ del triángulo $ ABC $ con la semirrecta $ MH $, y $ F $ el punto de intersección (distinto de $ E $) de la recta $ ED $ con la circunferencia $ \Gamma $. Demuestra que debe cumplirse que $ \tfrac{BF}{CF} = \tfrac{AB}{AC} $. (Aquí denotamos por $ XY $ la longitud del segmento de recta $ XY $.)

5 Sea $ n $ un entero mayor o igual que $ 2 $ . Demuestra que si los números reales $ a_1 , a_2 , \cdots , a_n $ satisfacen $ a_1 ^2 + a_2 ^2 + \cdots + a_n ^ 2 = n $ , entonces \[\sum_{1 \le i < j \le n} \frac{1}{n- a_i a_j} \le \frac{n}{2} \] debe cumplirse.

3 Dado un hexágono convexo $ABCDEF$, inscrito en el círculo. Demuestra que $AC*BD*DE*CE*EA*FB \geq 27 AB * BC * CD * DE * EF * FA$

1 Sea $ABCD$ un rectángulo. Una recta $r$ se mueve paralela a $AB$ e interseca la diagonal $AC$, formando dos triángulos opuestos por el vértice, dentro del rectángulo. Demuestra que la suma de las áreas de estos triángulos es mínima cuando $r$ pasa por el punto medio del segmento $AD$.

4 En un triángulo escaleno \(ABC\), \(I\) es el incentro y \(CN\) es la bisectriz del ángulo \(C\). La recta \(CN\) corta nuevamente a la circunferencia circunscrita de \(ABC\) en \(M\). La recta \(l\) es paralela a \(AB\) y es tangente a la circunferencia inscrita de \(ABC\). El punto \(R\) sobre \(l\) es tal que \(CI \perp IR\). La circunferencia circunscrita de \(MNR\) corta nuevamente a la recta \(IR\) en \(S\). Demuestra que \(AS = BS\).