8 ¿Cuál es el mínimo $n$ para que la cuadrícula $nxn$ pueda ser cubierta con el mismo número de cuadrados 2x2 y trominós en ángulo (2x2 sin un cuadrado)?

6 Halle la suma de los números de dos cifras $\overline{ab}$ para los cuales la ecuación $3^{x + y} =3^x + 3^y + \overline{ab}$ tiene al menos una solución $(x, y)$ en números naturales.

5 Los números reales $a, b$ satisfacen $| a | \ne | b |$ y $$ \frac{a + b}{a - b}+\frac{a - b}{a + b}= -\frac52.$$ Determine el valor de la expresión $$E= \frac{a^4 - b^4}{a^4 + b^4} - \frac{a^4 + b^4}{a^4- b^4}.$$

5 Para cualesquiera números estrictamente positivos $a$ y $b$ , demuestre la desigualdad $$\frac{a}{a+b} \cdot \frac{a+2b}{a+3b} < \sqrt{ \frac{a}{a+4b}}.$$

2 Los números reales positivos $a, b, c$ satisfacen $abc=1$ . Demuestre la desigualdad $$\frac{a^2+b^2}{a^4+b^4}+\frac{b^2+c^2}{b^4+c^4}+\frac{c^2+a^2}{c^4+a^4}\leq a+b+c.$$

8 Los números naturales $m$ y $k$ satisfacen la igualdad $$1001 \cdot 1002 \cdot ... \cdot 2010 \cdot 2011 = 2^m (2k + 1)$$ . Halle el número $m$ .

1 Enunciado incompleto Sean $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ algunos números tales que las funciones $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, f(x)=ax^2+bx+c$ y $g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, g(x)=-ax+d$ tienen sus gráficas como en la figura dada. Halle la solución positiva de la ecuación $f(x)=0.$

7 En el rectángulo $ABCD$ con $AB> BC$ , la mediatriz de $AC$ interseca el lado $CD$ en el punto $E$ . La circunferencia con centro en el punto $E$ y radio $AE$ interseca nuevamente el lado $AB$ en el punto $F$ . Si el punto $O$ es la proyección ortogonal del punto $C$ sobre la recta $EF$ , demuestre que los puntos $B, O$ y $D$ son colineales.

5 Para cada número natural $n$ determine el número $A(n)$ de todas las soluciones enteras no negativas de la ecuación $$5x + 2y + z = 10n.$$

3 Sea $ABC$ un triángulo con $\angle BCA=20.$ Sean los puntos $D\in(BC), F\in(AC)$ tales que $CD=DF=FB=BA.$ Halle $\angle ADF.$