Sean $a$ y $b$ enteros positivos mayores que $2$. Demuestra que existe un entero positivo $k$ y una secuencia $n_1, n_2, ..., n_k$ de enteros positivos, tal que $n_1 = a, n_k = b$, y $(n_i + n_{i+1}) | n_i n_{i+1}$ para todo $i = 1, 2, ..., k - 1$.

A4 Sean $x,y,z$ enteros positivos tales que $x\neq y\neq z \neq x$ . Demuestre que $$(x+y+z)(xy+yz+zx-2)\geq 9xyz.$$ ¿Cuándo se cumple la igualdad? Propuesto por Dorlir Ahmeti, Albania

2 Los rectángulos $BCC_1B_2,$ $CAA_1C_2,$ y $ABB_1A_2$ se construyen en el exterior de un triángulo acutángulo $ABC.$ . Suponga que \[\angle BC_1C+\angle CA_1A+\angle AB_1B=180^{\circ}.\] Demuestre que las rectas $B_1C_2,$ $C_1A_2,$ y $A_1B_2$ son concurrentes.

3 Se da un triángulo equilátero $\Delta$ de lado $L>0$ . Suponga que $n$ triángulos equiláteros de lado 1 y con interiores que no se superponen se dibujan dentro de $\Delta$ , de modo que cada triángulo equilátero unitario tiene lados paralelos a $\Delta$ , pero con orientación opuesta. (Un ejemplo con $n=2$ se dibuja a continuación.) [asy] draw((0,0)--(1,0)--(1/2,sqrt(3)/2)--cycle,linewidth(0.5)); filldraw((0.45,0.55)--(0.65,0.55)--(0.55,0.55-sqrt(3)/2*0.2)--cycle,gray,linewidth(0.5)); filldraw((0.54,0.3)--(0.34,0.3)--(0.44,0.3-sqrt(3)/2*0.2)--cycle,gray,linewidth(0.5)); [/asy] Demuestre que \[n \leq \frac{2}{3} L^{2}.\]

4 Carina tiene tres alfileres, etiquetados $A, B$ y $C$ , respectivamente, ubicados en el origen del plano coordenado. En un movimiento, Carina puede mover un alfiler a un punto de la red adyacente a distancia $1$ . ¿Cuál es el menor número de movimientos que Carina puede hacer para que el triángulo $ABC$ tenga área 2021? (Un punto de la red es un punto $(x, y)$ del plano coordenado donde $x$ y $y$ son ambos enteros, no necesariamente positivos.)

6 Tres diagonales de un prisma regular de $n$ - lados se intersecan en un punto interior $O$ . Demuestre que $O$ es el centro del prisma. (La diagonal del prisma es un segmento que une dos vértices que no están sobre la misma cara del prisma.) ThE-dArK-lOrD

5 Un conjunto finito $S$ de enteros positivos tiene la propiedad de que, para cada $s \in S,$ y cada divisor entero positivo $d$ de $s$ , existe un único elemento $t \in S$ que satisface $\text{gcd}(s, t) = d$ . (Los elementos $s$ y $t$ podrían ser iguales.) Con esta información, halle todos los valores posibles para el número de elementos de $S$ .

1 Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los enteros positivos. Halle todas las funciones $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ tales que, para enteros positivos $a$ y $b,$ \[f(a^2 + b^2) = f(a)f(b) \text{ and } f(a^2) = f(a)^2.\]

2 Resuelva $(x-4)(x-5)(x-6)(x-7)=1680$

5 Halle todos los pares de primos $(p, q)$ para los cuales $p-q$ y $pq-q$ son ambos cuadrados perfectos.