3 Sea $ABC$ un triángulo con $AB < AC$ e incentro $I$. Sea $E$ el punto sobre el lado $AC$ tal que $AE = AB$. Sea $G$ el punto sobre la recta $EI$ tal que $\angle IBG = \angle CBA$ y tal que $E$ y $G$ están en lados opuestos de $I$. Demuestra que la recta $AI$, la recta perpendicular a $AE$ en $E$, y la bisectriz del ángulo $\angle BGI$ son concurrentes.

El octágono $ABCDEFGH$ con longitudes de lado $AB = CD = EF = GH = 10$ y $BC = DE = FG = HA = 11$ se forma al quitar cuatro triángulos $6-8-10$ de las esquinas de un rectángulo de $23\times 27$ con el lado $\overline{AH}$ sobre un lado corto del rectángulo, como se muestra. Sea $J$ el punto medio de $\overline{HA}$, y divide el octágono en $7$ triángulos trazando los segmentos $\overline{JB}$, $\overline{JC}$, $\overline{JD}$, $\overline{JE}$, $\overline{JF}$ y $\overline{JG}$. Encuentra el área del polígono convexo cuyos vértices son los centroides de estos $7$ triángulos. [asy] unitsize(6); pair P = (0, 0), Q = (0, 23), R = (27, 23), SS = (27, 0); pair A = (0, 6), B = (8, 0), C = (19, 0), D = (27, 6), EE = (27, 17), F = (19, 23), G = (8, 23), J = (0, 23/2), H = (0, 17); draw(P--Q--R--SS--cycle); draw(J--B); draw(J--C); draw(J--D); draw(J--EE); draw(J--F); draw(J--G); draw(A--B); draw(H--G); real dark = 0.6; filldraw(A--B--P--cycle, gray(dark)); filldraw(H--G--Q--cycle, gray(dark)); filldraw(F--EE--R--cycle, gray(dark)); filldraw(D--C--SS--cycle, gray(dark)); dot(A); dot(B); dot(C); dot(D); dot(EE); dot(F); dot(G); dot(H); dot(J); dot(H); defaultpen(fontsize(10pt)); real r = 1.3; label("$A$", A, W*r); label("$B$", B, S*r); label("$C$", C, S*r); label("$D$", D, E*r); label("$E$", EE, E*r); label("$F$", F, N*r); label("$G$", G, N*r); label("$H$", H, W*r); label("$J$", J, W*r); [/asy]

3 Un círculo está inscrito en un triángulo $ABC$ con lados $a,b,c$. Se construyen tangentes al círculo paralelas a los lados del triángulo. Cada una de estas tangentes corta un triángulo de $\triangle ABC$. En cada uno de estos triángulos, se inscribe un círculo. Encuentra la suma de las áreas de los cuatro círculos inscritos (en términos de $a,b,c$).

2 Si $a>1,b>1$ son las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo y $c$ la longitud de su hipotenusa, demuestre que $a+b\leq c\sqrt 2$ .

6 Demuestre que toda sucesión aritmética infinita $a, a+d, a+2d, \ldots$ , donde $a$ y $d$ son números naturales, contiene como subsucesión una sucesión geométrica infinita $b, bq, bq^{2}, \ldots$ , donde $b$ y $q$ son números naturales.

2 Un profesor de matemáticas escribió en una pizarra un polinomio $P(x)$ con coeficientes enteros y dijo: "Hoy es el cumpleaños de mi hija. Si en el polinomio $P(x)$ ponemos $x=a$ , donde $a$ es la edad de mi hija, tenemos $P(a)=a$ y $P(0)=p$ , donde $p$ es un número primo tal que $p>a$ . " ¿Cuántos años tiene la hija del profesor de matemáticas?

5 Sean $x_{1}, x_{2},\ldots,x_{1000}$ enteros, y suponga que $\displaystyle \sum_{i=1}^{1000} x_{i}^{k}$ es múltiplo de $2017$ para todo entero positivo $k \leq 672$ . Demuestre que $x_{1}, x_{2},\ldots,x_{1000}$ son todos múltiplos de $2017$ . Nota: $2017$ es un número primo.

B4 Sea $(x_1,y_1) = (0.8, 0.6)$ y sean $x_{n+1} = x_n \cos y_n - y_n \sin y_n$ y $y_{n+1}= x_n \sin y_n + y_n \cos y_n$ para $n=1,2,3,\dots$ . Para cada uno de $\lim_{n\to \infty} x_n$ y $\lim_{n \to \infty} y_n$, demuestra que el límite existe y encuéntralo, o demuestra que el límite no existe.

B5 Sea $O_n$ el vector $n$-dimensional $(0,0,\cdots, 0)$. Sea $M$ una matriz de $2n \times n$ de números complejos tal que siempre que $(z_1, z_2, \dots, z_{2n})M = O_n$, con $z_i$ complejos, no todos cero, entonces al menos uno de los $z_i$ no es real. Demuestra que para números reales arbitrarios $r_1, r_2, \dots, r_{2n}$, existen números complejos $w_1, w_2, \dots, w_n$ tales que \[ \mathrm{re}\left[ M \left( \begin{array}{c} w_1 \\ \vdots \\ w_n \end{array} \right) \right] = \left( \begin{array}{c} r_1 \\ \vdots \\ r_n \end{array} \right). \] (Nota: si $C$ es una matriz de números complejos, $\mathrm{re}(C)$ es la matriz cuyas entradas son las partes reales de las entradas de $C$.)

$A$$n$$copy$$A$$A$$n$$copies$$A$$4$$A$$A$$0$