1 Llamamos a una $5$-tupla de enteros ordenable si sus elementos pueden etiquetarse como $a, b, c, d, e$ en algún orden de modo que $a-b+c-d+e=29$. Determina todas las $2017$-tuplas de enteros $n_1, n_2, \ldots, n_{2017}$ tales que si las colocamos en un círculo en orden horario, entonces cualquier $5$-tupla de números en posiciones consecutivas del círculo es ordenable. Warut Suksompong, Tailandia

2 Sea $ABC$ un triángulo con $AB < AC$. Sea $D$ el punto de intersección de la bisectriz interna del ángulo $BAC$ con la circunferencia circunscrita de $ABC$. Sea $Z$ el punto de intersección de la mediatriz de $AC$ con la bisectriz externa del ángulo $\angle{BAC}$. Demuestra que el punto medio del segmento $AB$ está sobre la circunferencia circunscrita del triángulo $ADZ$. Olimpiada de Matemáticas, Nicaragua

3 Sea \(A(n)\) el número de sucesiones \(a_1\ge a_2\ge\cdots{}\ge a_k\) de enteros positivos tales que \(a_1+\cdots{}+a_k = n\) y cada \(a_i +1\) es una potencia de dos \((i = 1,2,\cdots{},k)\). Sea \(B(n)\) el número de sucesiones \(b_1\ge b_2\ge \cdots{}\ge b_m\) de enteros positivos tales que \(b_1+\cdots{}+b_m =n\) y cada desigualdad \(b_j\ge 2b_{j+1}\) se cumple \((j=1,2,\cdots{}, m-1)\). Demuestra que \(A(n) = B(n)\) para todo entero positivo \(n\). Comité de Problemas Superiores de la Olimpiada Matemática Australiana.

4. Diremos que un número racional $r$ es poderoso si $r$ puede expresarse en la forma $\dfrac{p^k}{q}$ para algunos enteros positivos primos relativos $p, q$ y algún entero $k >1$. Sean $a, b, c$ números racionales positivos tales que $abc = 1$. Supongamos que existen enteros positivos $x, y, z$ tales que $a^x + b^y + c^z$ es un entero. Demuestra que $a, b, c$ son todos poderosos. Jeck Lim, Singapur

5 Sea $n$ un entero positivo. Un par de $n$ -adas $(a_1,\cdots{}, a_n)$ y $(b_1,\cdots{}, b_n)$ con entradas enteras se llama un par exquisito si $$|a_1b_1+\cdots{}+a_nb_n|\le 1.$$ Determina el número máximo de $n$ -adas distintas con entradas enteras tal que cualesquiera dos de ellas formen un par exquisito. Pakawut Jiradilok y Warut Suksompong, Tailandia

Tenemos 98 tarjetas, cada una etiquetada con un número distinto del $1$ al $98$. Queremos ordenar las 98 tarjetas en una secuencia $(a_1, a_2, \dots, a_{98})$ tal que para cada par de números consecutivos $X$ y $Y$ en la secuencia, $|X - Y| > 48$. Determina cuántas secuencias de este tipo existen y describe su estructura.

4 Sean $a, b$ y $c$ números reales positivos. Demuestra que $\frac{a+b}{c^2}+ \frac{c+a}{b^2}+ \frac{b+c}{a^2}\ge \frac{9}{a+b+c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

5 $ABC$ es un triángulo cualquiera. La tangente en $C$ a la circunferencia circunscrita ( $O$ ) de $ABC$ corta a $AB$ en $M$ . La recta perpendicular a $OM$ en $M$ interseca a $BC$ en $P$ y a $AC$ en $Q$ . Demuestra que $MP=MQ$ .

4 Considera un tablero con $n$ filas y $4$ columnas. En la primera línea se escriben $4$ ceros (uno en cada casilla). Luego, cada línea se obtiene de la anterior realizando la siguiente operación: una de las casillas (la que tú elijas) se mantiene igual que en la línea anterior; las otras tres se cambian: * si en la línea anterior había un $0$, entonces en la casilla de abajo se coloca un $1$; * si en la línea anterior había un $1$, entonces en la casilla de abajo se coloca un $2$; * si en la línea anterior había un $2$, entonces en la casilla de abajo se coloca un $0$; Construye el tablero más grande posible con todas sus líneas distintas y demuestra que es imposible construir un tablero más grande.

2 Sean $D$ y $E$ puntos en el interior de los lados $AB$ y $AC$, respectivamente, de un triángulo $ABC$, tales que $DB = BC = CE$. Sean las rectas $CD$ y $BE$ que se cortan en $F$. Demuestra que el incentro $I$ del triángulo $ABC$, el ortocentro $H$ del triángulo $DEF$ y el punto medio $M$ del arco $BAC$ de la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ son colineales.