B2 Demuestra que, para todo conjunto \(X=\{x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\}\) de \(n\) números reales, existe un subconjunto no vacío \(S\) de \(X\) y un entero \(m\) tales que \[\left|m+\sum_{s\in S}s\right|\le\frac1{n+1}\] Kent

B3 Sea $S$ un conjunto finito de puntos en el plano. Una partición lineal de $S$ es un par no ordenado $\{A,B\}$ de subconjuntos de $S$ tal que $A\cup B=S,\ A\cap B=\emptyset,$ y $A$ y $B$ están en lados opuestos de alguna recta disjunta de $S$ ($A$ o $B$ pueden ser vacíos). Sea $L_{S}$ el número de particiones lineales de $S.$ Para cada entero positivo $n,$ encuentra el máximo de $L_{S}$ sobre todos los conjuntos $S$ de $n$ puntos. Kent

B4 Sea $Z$ el conjunto de puntos en $\mathbb{R}^{n}$ cuyas coordenadas son $0$ o $1.$ (Así, $Z$ tiene $2^{n}$ elementos, que son los vértices de un hipercubo unitario en $\mathbb{R}^{n}$.) Dado un subespacio vectorial $V$ de $\mathbb{R}^{n},$ sea $Z(V)$ el número de elementos de $Z$ que están en $V.$ Sea $k$ dado, $0\le k\le n.$ Encuentra el máximo, sobre todos los subespacios vectoriales $V\subseteq\mathbb{R}^{n}$ de dimensión $k,$ del número de puntos en $V\cap Z.$

B5 Para cada función continua $f: [0,1]\to\mathbb{R},$ sea $I(f)=\int_{0}^{1}x^{2}f(x)\,dx$ y $J(f)=\int_{0}^{1}x\left(f(x)\right)^{2}\,dx.$ Encuentra el valor máximo de $I(f)-J(f)$ sobre todas las funciones $f$ de este tipo. Kent

B6 Sea $k$ un entero mayor que $1.$ Supón que $a_{0}>0$ y define \[a_{n+1}=a_{n}+\frac1{\sqrt[k]{a_{n}}}\] para $n\ge 0.$ Evalúa \[\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}^{k+1}}{n^{k}}.\]

A1 Demuestra que todo entero positivo es una suma de uno o más números de la forma $2^r3^s,$ donde $r$ y $s$ son enteros no negativos y ningún sumando divide a otro. (Por ejemplo, $23=9+8+6.)$ Kent

A2 Sea $S=\{(a,b)|a=1,2,\dots,n,b=1,2,3\}$. Un recorrido de torre de $S$ es un camino poligonal formado por segmentos de recta que conectan puntos $p_1,p_2,\dots,p_{3n}$ en una secuencia tal que (i) $p_i\in S$, (ii) $p_i$ y $p_{i+1}$ están a una distancia unitaria, para $1\le i<3n$, (iii) para cada $p\in S$ existe un único $i$ tal que $p_i=p$. ¿Cuántos recorridos de torre hay que comiencen en $(1,1)$ y terminen en $(n,1)$? (El enunciado oficial incluye una imagen que muestra un ejemplo de un recorrido de torre para $n=5$. Este ejemplo consiste en segmentos de recta con vértices en los que hay un cambio de dirección en los siguientes puntos, en orden: $(1,1),(2,1),(2,2),(1,2), (1,3),(3,3),(3,1),(4,1), (4,3),(5,3),(5,1)$.) Kent

Sea $n$ un entero positivo impar y sea $\theta$ un número real tal que $\theta/\pi$ es irracional. Define $a_{k}=\tan(\theta+k\pi/n),\ k=1,2\dots,n.$ Demuestra que \[\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}\] es un entero, y determina su valor.

B2 Demuestra que entre cualesquiera diez enteros consecutivos al menos uno es primo relativo con cada uno de los demás.

B6 Sea $S_n$ el conjunto de todas las permutaciones de los números $1,2,\dots,n.$ Para $\pi\in S_n,$ sea $\sigma(\pi)=1$ si $\pi$ es una permutación par y $\sigma(\pi)=-1$ si $\pi$ es una permutación impar. Además, sea $v(\pi)$ el número de puntos fijos de $\pi.$ Demuestra que \[ \sum_{\pi\in S_n}\frac{\sigma(\pi)}{v(\pi)+1}=(-1)^{n+1}\frac{n}{n+1}. \] Kent