4 Tenemos 99 círculos iguales en una fila y en su interior escribimos todos los números del 1 al 99 (un número en cada círculo). Coloreamos cada uno de los círculos con uno de los dos colores disponibles: rojo y verde. Una coloración es buena si tiene la propiedad: Los círculos rojos que se encuentran en el intervalo de los números del 1 al 50 son más que los círculos rojos que se encuentran en el intervalo de los números del 51 al 99 . a) Determine cuántas coloraciones diferentes pueden construirse. b) Determine cuántas coloraciones buenas diferentes pueden construirse. (Nota: Dos coloraciones son diferentes si tienen color diferente en al menos uno de sus círculos.)

4 Enunciado oficial: En la tabla están escritos los enteros positivos $1, 2,3,...,2018$ . John y Mary pueden realizar juntos el siguiente movimiento: Eligen dos de los números escritos en la tabla, digamos $a,b$ , y los reemplazan por los números $5a-2b$ y $3a-4b$ . John afirma que después de un número finito de tales movimientos es posible triplicar todos los números de la tabla, es decir, tener los números: $3, 6, 9,...,6054$ . Mary piensa un rato y responde que esto no es posible. ¿Quién de ellos tiene razón?

1 a) ¿Existe un número real $x$ tal que $x+\sqrt{3}$ y $x^2+\sqrt{3}$ sean ambos racionales? b) ¿Existe un número real $y$ tal que $y+\sqrt{3}$ y $y^3+\sqrt{3}$ sean ambos racionales?

2 Se da un tablero de $8\times 8$ . Siete de los $64$ cuadrados unitarios están pintados de negro. Suponga que existe un $k$ positivo tal que sin importar qué cuadrados sean negros, existe un rectángulo (con lados paralelos a los lados del tablero) de área $k$ que no contiene cuadrados negros. Determine el máximo valor de $k$ .

3 Sean $a$ y $b$ enteros positivos con $b$ impar, tales que el número $$\frac{(a+b)^2+4a}{ab}$$ sea un entero. Demuestre que $a$ es un cuadrado perfecto.

1 Sea $ABCD$ un cuadrado de lado $a$ . Sobre el lado $AD$ considere los puntos $E$ y $Z$ tales que $DE=a/3$ y $AZ=a/4$ . Si las rectas $BZ$ y $CE$ se intersecan en el punto $H$ , calcule el área del triángulo $BCH$ en función de $a$ .

3 Determine todas las ternas $(a,b,p)$ donde $a,b$ son enteros positivos y $p$ es un número primo que satisfacen: $\frac{1}{p}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$

4 Un grupo de $n$ personas juega un juego de mesa con las siguientes reglas: 1) En cada ronda del juego juegan exactamente $3$ personas 2) El juego termina después de exactamente $n$ rondas 3) Cada par de jugadores ha jugado junto al menos en una ronda Determine el mayor valor posible de $n$

1 Si $n$ es un entero positivo y $p, q, r$ son primos, resuelva el sistema: $pqr=n$ y $(p+1)(q+1)r=n+138$

2 Determine todos los pares de enteros no negativos $(m, n)$ con m ≥n, tales que $(m+n)^3$ divida a $2n(3m^2+n^2)+8$