Los números positivos $a, b, c$ son tales que $a^2<16bc, b^2<16ca$ y $c^2<16ab$ . Demuestre que \[a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca).\]

Halle todos los números naturales $n{}$ tales que para todo número natural $a{}$ que sea primo relativo con $n{}$ , el número $a^n - 1$ sea divisible por $2n^2$ .

Sean $a{}$ y $b{}$ números naturales mayores que uno. Sea $n{}$ un número natural para el cual $a\mid 2^n-1$ y $b\mid 2^n+1$ . Demuestre que no existe ningún número natural $k{}$ tal que $a\mid 2^k+1$ y $b\mid 2^k-1$ .

Se da un cuadrilátero cíclico $ABCD$ . Sean $I{}$ y $J{}$ los centros de los círculos inscritos en los triángulos $ABC$ y $ADC$ . Resulta que los puntos $B, I, J, D$ están sobre el mismo círculo. Demuestre que el cuadrilátero $ABCD$ es circunscriptible.

En el cuadrilátero cíclico $ABCD$ , la diagonal $BD$ es dividida en dos partes iguales por la diagonal $AC$ . Los puntos $E, F, G$ y $H{}$ son los puntos medios de los lados $AB, BC, CD{}$ y $DA$ respectivamente. Sean $P = AD \cap BC$ y $Q = AB \cap CD{}$ . Las bisectrices de los ángulos $APC$ y $AQC$ intersecan a los segmentos $EG$ y $FH$ en los puntos $X{}$ y $Y{}$ respectivamente. Demuestre que $XY \parallel BD$ .

Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $a^2+b^2+c^2\geqslant 3$ . Demuestre que \[\frac{a^2}{a+b^2}+\frac{b^2}{b+c^2}+\frac{c^2}{c+a^2}\geqslant\frac{3}{2}.\]

Un grafo simple tiene $N{}$ vértices y menos de $3(N-1)/2$ aristas. Demuestre que sus vértices pueden dividirse en dos grupos no vacíos de modo que cada vértice tenga a lo sumo un vecino en el grupo al que no pertenece.

Demuestre que existen dos números naturales $a,b$ tales que $|a-m|+|b-n|>1000$ para cualesquiera números naturales primos entre sí $m,n$ .

Sean $x,y,z{}$ números reales positivos. Demuestre que \[(xy+yz+zx)\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{y^2+z^2}+\frac{1}{z^2+x^2}\right)>\frac{5}{2}.\]

$ABCDEF$ es un hexágono cíclico con $AB=BC=CD=DE$ . $K$ es un punto del segmento $AE$ que satisface $\angle BKC=\angle KFE, \angle CKD = \angle KFA$ . Demuestre que $KC=KF$ .