A4 Sean $x,y,z$ enteros positivos tales que $x\neq y\neq z \neq x$ . Demuestre que $$(x+y+z)(xy+yz+zx-2)\geq 9xyz.$$ ¿Cuándo se cumple la igualdad? Propuesto por Dorlir Ahmeti, Albania

1 ¿Para qué enteros positivos $m$ existe una sucesión aritmética infinita de enteros $a_1, a_2, . . .$ y una sucesión geométrica infinita de enteros $g_1, g_2, . . .$ que satisfacen las siguientes propiedades? $a_n - g_n$ es divisible por $m$ para todo entero $n \ge 1$ ; $a_2 - a_1$ no es divisible por $m$ . Holden Mui ike.chen

2 Resuelva $(x-4)(x-5)(x-6)(x-7)=1680$

2 Sean $a$ y $b$ enteros positivos. Las celdas de una cuadrícula $(a+b+1)\times (a+b+1)$ están coloreadas de ámbar y bronce de modo que hay al menos $a^2+ab-b$ celdas ámbar y al menos $b^2+ab-a$ celdas bronce. Demuestre que es posible elegir $a$ celdas ámbar y $b$ celdas bronce tales que no haya dos de las $a+b$ celdas elegidas en la misma fila o columna.

3 Sean $b\geq2$ y $w\geq2$ enteros fijos, y $n=b+w$ . Se tienen $2b$ varillas negras idénticas y $2w$ varillas blancas idénticas, cada una de longitud de lado 1. Ensamblamos un $2n-$ gono regular usando estas varillas de modo que los lados paralelos tengan el mismo color. Luego, un $2b$ - gono convexo $B$ se forma trasladando las varillas negras, y un $2w$ - gono convexo $W$ se forma trasladando las varillas blancas. Un ejemplo de una forma de hacer el ensamblaje cuando $b=3$ y $w=2$ se muestra a continuación, junto con los polígonos resultantes $B$ y $W$ . [asy]size(10cm); real w = 2*Sin(18); real h = 0.10 * w; real d = 0.33 * h; picture wht; picture blk; draw(wht, (0,0)--(w,0)--(w+d,h)--(-d,h)--cycle); fill(blk, (0,0)--(w,0)--(w+d,h)--(-d,h)--cycle, black); // draw(unitcircle, blue+dotted); // Original polygon add(shift(dir(108))*blk); add(shift(dir(72))*rotate(324)*blk); add(shift(dir(36))*rotate(288)*wht); add(shift(dir(0))*rotate(252)*blk); add(shift(dir(324))*rotate(216)*wht); add(shift(dir(288))*rotate(180)*blk); add(shift(dir(252))*rotate(144)*blk); add(shift(dir(216))*rotate(108)*wht); add(shift(dir(180))*rotate(72)*blk); add(shift(dir(144))*rotate(36)*wht); // White shifted real Wk = 1.2; pair W1 = (1.8,0.1); pair W2 = W1 + w*dir(36); pair W3 = W2 + w*dir(108); pair W4 = W3 + w*dir(216); path Wgon = W1--W2--W3--W4--cycle; draw(Wgon); pair WO = (W1+W3)/2; transform Wt = shift(WO)*scale(Wk)*shift(-WO); draw(Wt * Wgon); label("$W$", WO); /* draw(W1--Wt*W1); draw(W2--Wt*W2); draw(W3--Wt*W3); draw(W4--Wt*W4); */ // Black shifted real Bk = 1.10; pair B1 = (1.5,-0.1); pair B2 = B1 + w*dir(0); pair B3 = B2 + w*dir(324); pair B4 = B3 + w*dir(252); pair B5 = B4 + w*dir(180); pair B6 = B5 + w*dir(144); path Bgon = B1--B2--B3--B4--B5--B6--cycle; pair BO = (B1+B4)/2; transform Bt = shift(BO)*scale(Bk)*shift(-BO); fill(Bt * Bgon, black); fill(Bgon, white); label("$B$", BO);[/asy] Demuestre que la diferencia de las áreas de $B$ y $W$ depende solo de los números $b$ y $w$ , y no de cómo se ensambló el $2n$ - gono. Propuesto por Ankan Bhattacharya

4 Sea $ABCD$ un rombo, y sean $K$ y $L$ puntos tales que $K$ está dentro del rombo, $L$ está fuera del rombo, y $KA = KB = LC = LD$ . Demuestre que existen puntos $X$ y $Y$ sobre las rectas $AC$ y $BD$ tales que $KXLY$ es también un rombo. Propuesto por Ankan Bhattacharya

5 Halle todos los pares de primos $(p, q)$ para los cuales $p-q$ y $pq-q$ son ambos cuadrados perfectos.

6 Sean $a_0, b_0, c_0$ números complejos, y defina \begin{align*}a_{n+1} &= a_n^2 + 2b_nc_n \\ b_{n+1} &= b_n^2 + 2c_na_n \\ c_{n+1} &= c_n^2 + 2a_nb_n\end{align*} para todo entero no negativo $n.$ . Suponga que $\max{\{|a_n|, |b_n|, |c_n|\}} \leq 2022$ para todo $n.$ . Demuestre que $$|a_0|^2 + |b_0|^2 + |c_0|^2 \leq 1.$$

1 Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los enteros positivos. Halle todas las funciones $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ tales que, para enteros positivos $a$ y $b,$ \[f(a^2 + b^2) = f(a)f(b) \text{ and } f(a^2) = f(a)^2.\]

1 Sea $ABC$ un triángulo con $BA=BC$ y $\angle ABC=90^{\circ}$ . Sean $D$ y $E$ los puntos medios de $CA$ y $BA$ respectivamente. El punto $F$ está en el interior de $\triangle ABC$ tal que $\triangle DEF$ es equilátero. Sean $X=BF\cap AC$ y $Y=AF\cap DB$ . Demuestre que $DX=YD$ .