4 Sea $ABC$ un triángulo, sea $D$ un punto sobre el lado $BC$ , y sea $\mathcal{O}$ la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ . Demuestre que los círculos tangentes a $\mathcal{O},AD,BD$ y a $\mathcal{O},AD,DC$ son tangentes entre sí si y solo si $\angle BAD=\angle CAD$ . Dan Branzei

3 Sea $n\ge 4$ un entero positivo y sea $M$ un conjunto de $n$ puntos en el plano, donde no hay tres puntos colineales y no todos los $n$ puntos son concíclicos. Halle todas las funciones reales $f:M\to\mathbb{R}$ tales que para cualquier círculo $\mathcal{C}$ que contenga al menos tres puntos de $M$ , se cumple la siguiente igualdad: \[\sum_{P\in\mathcal{C}\cap M} f(P)=0\] Dorel Mihet

1 Sean $m,n$ enteros positivos de paridades distintas y tales que $m<n<5m$ . Demuestre que existe una partición en subconjuntos de dos elementos del conjunto $\{ 1,2,3,\ldots ,4mn\}$ tal que la suma de los números de cada conjunto es un cuadrado perfecto. Dinu Șerbănescu

3 Después de las elecciones, cada miembro del parlamento (MP) tiene su propia calificación absoluta. Cuando el parlamento se constituye, ingresa en un grupo y obtiene una calificación relativa. La calificación relativa es el cociente entre su propia calificación absoluta y la suma de todas las calificaciones absolutas de los miembros del parlamento del grupo. Un miembro del parlamento puede pasar de un grupo a otro solo si en su nuevo grupo su calificación relativa es mayor. En un día dado, solo un miembro del parlamento puede cambiar de grupo. Demuestre que solo es posible un número finito de cambios de grupo. (Una calificación es un número real positivo.)

2 Halle el menor número real positivo $r$ con la siguiente propiedad: Cualesquiera que sean cuatro discos considerados, cada uno con centro sobre los lados de un cuadrado unitario y con la suma de sus radios igual a $r$ , existe un triángulo equilátero cuyos lados están contenidos en tres de los discos. Radu Gologan

1 Sea $(a_n)_{n\ge 1}$ una sucesión de enteros positivos definida por $a_1,a_2>0$ y $a_{n+1}$ es el menor divisor primo de $a_{n-1}+a_{n}$ , para todo $n\ge 2$ . Demuestre que un número real $x$ cuyos decimales son los dígitos de los números $a_1,a_2,\ldots a_n,\ldots $ escritos en orden, es un número racional. Laurentiu Panaitopol

4 Sea $f:\mathbb{Z}\rightarrow\{ 1,2,\ldots ,n\}$ una función tal que $f(x)\not= f(y)$ , para todo $x,y\in\mathbb{Z}$ tales que $|x-y|\in\{2,3,5\}$ . Demuestre que $n\ge 4$ . Ioan Tomescu

3 Sea $n$ un entero positivo. $S$ es el conjunto de los enteros no negativos $a$ tales que $1<a<n$ y $a^{a-1}-1$ es divisible por $n$ . Demuestre que si $S=\{ n-1 \}$ entonces $n=2p$ donde $p$ es un número primo. Mihai Cipu y Nicolae Ciprian Bonciocat

2 Sea $n\geq 4$ un entero, y sean $a_1,a_2,\ldots,a_n$ números reales positivos tales que \[ a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2=1 . \] Demuestre que se cumple la siguiente desigualdad \[ \frac{a_1}{a_2^2+1}+\cdots +\frac{a_n}{a_1^2+1} \geq \frac{4}{5}\left( a_1 \sqrt{a_1}+\cdots +a_n \sqrt{a_n} \right)^2 . \] Bogdan Enescu, Mircea Becheanu

6 ¿Existen enteros positivos $m,n$ tales que $m^{20}+11^n$ es un número cuadrado?