3 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo tal que $\angle BAC > 45^{\circ}$ con circuncentro $O$. Se elige un punto $P$ dentro del triángulo $ABC$ tal que $A, P, O, B$ son concíclicos y la recta $BP$ es perpendicular a la recta $CP$. Un punto $Q$ está en el segmento $BP$ tal que la recta $AQ$ es paralela a la recta $PO$. Demuestra que $\angle QCB = \angle PCO$.

4 Encuentra todas las $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N} $ tales que $f(a) + f(b)$ divide a $2(a + b - 1)$ para todos $a, b \in \mathbb{N}$ . Nota: $\mathbb{N} = \{ 1, 2, 3, \ldots \} $ denota el conjunto de los enteros positivos.

1 Encuentra todas las ternas $(a, b, c)$ de números reales tales que $$ a^2 + ab + c = 0, $$ $$b^2 + bc + a = 0, $$ $$c^2 + ca + b = 0.$$

2 Sea $\mathbb{R}$ el conjunto de los reales. Encuentra todas las $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que $$ f(x)f(y) = xf(f(y-x)) + xf(2x) + f(x^2) $$ para todos los reales $x, y$.

2021.4 Facundo y Luca han recibido una torta con forma de cuadrilátero, como en la figura. https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/3/2/630286edc1935e1a8dd9e704ed4c813c900381.png Van a hacer dos cortes rectos en la torta, obteniendo así $4$ porciones con forma de cuadrilátero. Luego Facundo se quedará con dos porciones que no comparten ningún lado, y las otras dos serán para Luca. Muestra cómo pueden hacer los cortes para que ambos chicos reciban la misma cantidad de torta. Justifica por qué cortar de esta manera logra el objetivo.

2 Sea $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ una sucesión definida recursivamente tal que $x_1=\sqrt{2}$ y $$x_{n+1}=x_n+\frac{1}{x_n}\text{ para }n\in \mathbb{N}.$$ Demuestra que se cumple la siguiente desigualdad: $$\frac{x_1^2}{2x_1x_2-1}+\frac{x_2^2}{2x_2x_3-1}+\dotsc +\frac{x_{2018}^2}{2x_{2018}x_{2019}-1}+\frac{x_{2019}^2}{2x_{2019}x_{2020}-1}>\frac{2019^2}{x_{2019}^2+\frac{1}{x_{2019}^2}}.$$ Propuesto por Ivan Novak ThE-dArK-lOrD

7 Un entero positivo $n$ es Mozart si la representación decimal de la secuencia $1, 2, \ldots, n$ contiene cada dígito un número par de veces. Demuestra que: 1. Todos los números Mozart son pares. 2. Hay infinitos números Mozart.

Sea \( u \) un número racional positivo y \( m \) un entero positivo. Define una sucesión \( q_1,q_2,q_3,\dotsc \) tal que \( q_1=u \) y para \( n\geqslant 2 \): $$\text{si }q_{n-1}=\frac{a}{b}\text{ para algunos enteros positivos primos relativos }a\text{ y }b, \text{ entonces }q_n=\frac{a+mb}{b+1}.$$ Determina todos los enteros positivos \( m \) tales que la sucesión \( q_1,q_2,q_3,\dotsc \) es eventualmente periódica para cualquier número racional positivo \( u \). Observación: Una sucesión \( x_1,x_2,x_3,\dotsc \) es eventualmente periódica si existen enteros positivos \( c \) y \( t \) tales que \( x_n=x_{n+t} \) para todo \( n\geqslant c \). Propuesto por Petar Nizié-Nikolac ThE-dArK-lOrD

6 Sea $ABC$ un triángulo para el cual $AB \neq AC$. Los puntos $K$, $L$, $M$ son los puntos medios de los lados $BC$, $CA$, $AB$. La circunferencia inscrita de $ABC$ con centro $I$ es tangente a $BC$ en $D$. Una recta que pasa por el punto medio de $ID$ y es perpendicular a $IK$ corta a la recta $LM$ en $P$. Demuestra que $\angle PIA = 90^{\circ}$.

1 Todo entero positivo está marcado con un número del conjunto $\{ 0,1,2\}$ , según la siguiente regla: $$\text{si un entero positivo }k\text{ está marcado con }j,\text{ entonces el entero }k+j\text{ está marcado con }0.$$ Sea $S$ la suma de las marcas de los primeros $2019$ enteros positivos. Determina el máximo valor posible de $S$ . Propuesto por Ivan Novak ThE-dArK-lOrD