2 Halle todos los números naturales de cuatro cifras $\overline{xyzw}$ con la propiedad de que su suma más la suma de sus cifras sea igual a $2003$ .

5 En el cuadrilátero convexo $ABCD$, el ángulo $\angle{BAD}=90$, $\angle{BAC}=2\cdot\angle{BDC}$ y $\angle{DBA}+\angle{DCB}=180$. Entonces encuentra el ángulo $\angle{DBA}$.

1 Halle todos los enteros positivos $n$ para los cuales el número $A = n^3-n^2+n-1$ es primo

$ c\in\mathbb C$$ f_c(z,0)=z$$ f_c(z,n)=f_c(z,n-1)^2+c$$ n\geq1$$ |c|\leq\frac14$$ U$$ z\in U$$ f_c(z,n),n\in\mathbb N$$ c>\frac14$$ U$$ z\in U$$ f_c(z,n),n\in\mathbb N$

A Lucky y Jinx se les dio un papel con $2023$ puntos dispuestos como los vértices de un polígono regular. Luego se les encargó colorear todos los segmentos que conectan estos puntos de modo que ningún triángulo formado con estos puntos tenga todas sus aristas del mismo color, ni de tres colores distintos, y ningún cuadrilátero (no necesariamente convexo) tenga todas sus aristas del mismo color. Después del coloreado se determinó que Jinx usó al menos dos colores más que Lucky. ¿Cuántos colores usó cada uno de ellos? Autor: Ilija Jovcheski

Los enteros positivos $a, b, c, d$ satisfacen (i) $a + b + c + d = 2023$ (ii) $2023 \text{ } | \text{ } ab - cd$ (iii) $2023 \text{ } | \text{ } a^2 + b^2 + c^2 + d^2.$ Suponiendo que cada uno de los números $a, b, c, d$ es divisible por $7$ , demuestre que cada uno de los números $a, b, c, d$ es divisible por $17$ . leannan-capall

5 En el triángulo $ ABC $ el lado $ BC $ es el menor. En los rayos $ BA $ y $ CA $ , los segmentos $ BD $ y $ CE $ son iguales a $ BC $ . Demuestre que el radio de la circunferencia circunscrita del triángulo $ ADE $ es $ \sqrt{R ^ 2 - 2Rr} $ (donde $ R $ y $ r $ son los radios de las circunferencias circunscrita e inscrita del triángulo $ ABC $ ) .

2 Determine todos los enteros $m, n\geqslant2$ tales que $1+m^{3^{n}}+m^{2\cdot3^{n}}$ es divisible por $n$ .

4 Determine el número racional $\frac{a}{b}$ , donde $a,b$ son enteros positivos, con denominador mínimo, tal que $ \frac{52}{303} < \frac{a}{b}< \frac{16}{91}$

G6 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo escaleno y sea $P$ un punto del plano. Para cualquier punto $Q\neq A,B,C$ , defina $T_A$ como el único punto tal que $\triangle T_ABP \sim \triangle T_AQC$ y $\triangle T_ABP, \triangle T_AQC$ están orientados en la misma dirección (horaria o antihoraria). Defina de manera análoga $T_B, T_C$ . a) Halle todos los $P$ tales que exista un punto $Q$ con $T_A,T_B,T_C$ todos sobre la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ . Llame a tal par $(P,Q)$ un par sabroso con respecto a $\triangle ABC$ . b) Conservando las notaciones de a), determine si existe un par sabroso que también sea sabroso con respecto a $\triangle T_AT_BT_C$ . Propuesto por Vincent Huang