Halle todos los enteros positivos $n$ para los cuales todos los divisores positivos de $n$ pueden colocarse en las casillas de una tabla rectangular bajo las siguientes restricciones: cada casilla contiene un divisor distinto; las sumas de todas las filas son iguales; y las sumas de todas las columnas son iguales.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB<AC$ , sean $G,H$ su baricentro y su ortocentro. Sea $D$ la proyección ortogonal de $A$ sobre la recta $BC$ , y sea $M$ el punto medio del lado $BC$ . El circuncírculo de $ABC$ corta al rayo $HM$ que emana de $M$ en $P$ y al rayo $DG$ que emana de $D$ en $Q$ , fuera del segmento $DG$ . Demuestre que las rectas $DP$ y $MQ$ se encuentran sobre el circuncírculo de $ABC$ .

3 Halle todos los $\alpha>0$ y $\beta>0$ tales que para cada $(x_1,\dots,x_n)$ y $(y_1,\dots,y_n)\in\mathbb {R^+}^n$ se cumple: \[(\sum x_i^\alpha)(\sum y_i^\beta)\geq\sum x_iy_i\] Omid

$S$$n$$P(S)$$S$$f : P(S) \rightarrow \mathbb N$$A$$S$$f(A)=f(S-A)$$S$$A$$B$$max(f(A),f(B))\ge f(A\cup B)$$x$$A\subseteq S$$f(A)=x$$n$

59 Dados siete puntos en el plano, algunos de ellos están conectados por segmentos de tal manera que: (i) entre cualesquiera tres de los puntos dados, dos están conectados por un segmento; (ii) el número de segmentos es mínimo. ¿Cuántos segmentos tiene una figura que satisface (i) y (ii)? Dé un ejemplo de tal figura.

2 El radio de la circunferencia circunscrita del triángulo $\Delta$ es $R$ y el radio de la circunferencia inscrita es $r$ . Demuestre que un círculo de radio $R + r$ tiene un área mayor que $5$ veces el área del triángulo $\Delta$ .

Un país plano tiene un número impar de ciudades separadas por distancias distintas dos a dos. Algunas de estas ciudades están conectadas por vuelos directos de ida y vuelta. Cada ciudad está conectada directamente con exactamente otras dos ciudades, y estas últimas están ubicadas a la mayor distancia de ella. Demuestre que, usando estos vuelos, se puede ir de cualquier ciudad a cualquier otra ciudad.

1 Dados los círculos \( \omega_1 \) y \( \omega_2 \) que se intersectan en los puntos \( X \) y \( Y \), sea \( \ell_1 \) una recta que pasa por el centro de \( \omega_1 \) e intersecta a \( \omega_2 \) en los puntos \( P \) y \( Q \), y sea \( \ell_2 \) una recta que pasa por el centro de \( \omega_2 \) e intersecta a \( \omega_1 \) en los puntos \( R \) y \( S \). Demuestra que si \( P, Q, R \) y \( S \) están sobre un círculo, entonces el centro de este círculo se encuentra sobre la recta \( XY \).

63 Sean $ l_i,$ $ i = 1,2,3$ tres rectas no colineales en el plano, que forman un triángulo, y $ f_i$ las reflexiones axiales respecto de $ l_i$ . Demuestre que para cada punto $ P$ del plano existe una cantidad finita de interconexiones (composiciones) de las reflexiones $ f_i$ que lleva $ P$ al triángulo formado por las rectas $ l_i,$ es decir, que aplica ese punto a un punto interior del triángulo.

3 Suponga que $\triangle ABC$ es un triángulo regular de lado $3$ . Tome puntos $D,E,F$ sobre los lados $BC,CA,AB$ respectivamente, tales que $BD=1$ , $\angle ADE=\angle DEF=60^{\circ}$ . Halle la longitud de $AF$ . YII.I.