2 En el estado de Wegedonien hay una red de carreteras. En cada intersección y cruce de carreteras de esta red hay un puesto de control de tráfico. La longitud de cada tramo de carretera entre dos puestos de control de tráfico adyacentes cualesquiera es menor que $100$ km. Desde cada puesto de control de tráfico se puede llegar a cualquier otro mediante un recorrido dentro de la red de longitud total menor que $100$ km. Además, para cada tramo de carretera entre dos puestos de control de tráfico adyacentes: Si ese tramo de carretera exacto está bloqueado, desde cada puesto de control de tráfico todavía se puede llegar a cualquier otro mediante un recorrido compuesto únicamente por tramos de carretera no bloqueados de la red. Demuestre que esto puede hacerse mediante un recorrido de longitud total menor que $300$ km.

3 a) Sea $P_1P_2...P_n$ un $n$ - ágono plano convexo cualquiera $E$ en un plano. Demuestre el siguiente enunciado: Si los puntos $Q_1, ..., Q_n$ se encuentran en el interior o sobre la frontera de $E$ de modo que $Q_1$ , ..., $Q_n$ sea un $n$ - ágono congruente con $E$ , entonces todo punto $Q_i$ ( $i = 1, 2, ..., n$ ) es un vértice de $E$ . (1) b) ¿Existen $n$ - ágonos no convexos $E$ para los cuales el enunciado (1) es falso?

5 Sea $n$ un número natural mayor que $1$ . Demuestre que para cada uno de los $n$ números $a_1$ , $a_2$ , $...$ , $a_n$ con $a_j = n! + j$ ( $j = 1, 2, ..., n$ ) existe un número primo $p_j$ que divide al número $a_j$ , pero no a ningún otro número $a_k$ ( $k\ne j$ ) de estos $n$ números.

6A Sea $A_1A_2A_3A_4A_5$ un pentágono regular con una longitud de lado dada $s$ . Alrededor de cada punto $A_i$ ( $i = 1, 2, 3, 4, 5$ ) se coloca la esfera $K_i$ con radio $\frac{s}{2}$ y centro $A_i$ . Entonces, en el conjunto de aquellas esferas $K'$ que tienen la propiedad de ser tangentes a cada una de las cinco esferas $K_i$ , hay exactamente dos esferas $K'_1$ y $K'_2$ con radio $\frac{s}{2}$ . Investigue si $K'_1$ y $K'_2$ se intersecan, son tangentes o no tienen ningún punto en común.

6B a) Sea M el conjunto de todas las ternas $(x, y, z)$ de números reales para las cuales se satisfacen las siguientes desigualdades (1) a (5): $$55x + z \le 54 \,\,\,(1)$$ $$55y + z \le 54 \,\,\,(2)$$ $$55x - 4z \ge 4 \,\,\, (3)$$ $$55y - 4z \ge 4 \,\,\,(4)$$ $$z \ge -1 \,\,\,(5)$$ Investigue si para la expresión $$f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 \,\,\, (6)$$ existe una terna $(x_0, y_0, z_0) \in M$ tal que para todas las ternas $(x, y, z) \in M$ se cumpla la desigualdad $$f(x_0, y_0, z_0) \ge f(x, y, z)$$ . Si es el caso, determine entonces $f(x_0, y_0, z_0)$ . b) Sea $M'$ el conjunto de todas las ternas $(x, y, z)$ de enteros para las cuales se satisfacen las desigualdades (1) a (5). Investigue si para la expresión (6) existe una terna $(x_1, y_1, z_1) \in M'$ con la propiedad de que para todas las ternas $(x, y, z) \in M'$ se cumpla la desigualdad $$f(x_1, y_1, z_1) \ge f(x, y, z)$$ . Si es el caso, determine $f(x_1, y_1, z_1)$ .

1 Si $f$ y $g$ son funciones continuas en el intervalo $-1 \le x \le 1$ , entonces $d_1(f, g)$ y $d_2(f, g)$ se definen como sigue: $$d_1(f, g) = max |f(x) -g(x)|$$ $d_2(f, g)$ es el área, expresada en unidades de un sistema de coordenadas rectangulares, de la región limitada por las imágenes de las funciones $f$ y $g$ y dos segmentos sobre las rectas $x = -1$ y $x = 1$ , respectivamente. (El contenido de cada subárea se considera positivo, independientemente de su orientación.) Sean $f_n$ ( $n = 1, 2, 3, ...$ ) y $h$ definidas en el intervalo $-1 \le x \le 1$ por $$f_n(x) = \sum^n_{k=1}(1- x)x^{k-1} \,\,\, and \,\,\, h(x) = 1$$ a) Halle el límite $\lim_{n \to \infty}d_1(f_n, h)$ si este límite existe. b) Halle el límite $\lim_{n \to \infty}d_2(f_n, h)$ si este límite existe.

3 a) Enumere todas las formas en que una región triangular dada $D$ puede dividirse en tres regiones triangulares $D_1$ , $D_2$ , $D_3$ . b) Demuestre que si una región triangular $D$ puede dividirse en tres regiones triangulares semejantes $D_1$ , $D_2$ , $D_3$ , entonces dicha región triangular es isósceles o rectángula.

5 Sea $f_1, f_2, ...$ una sucesión de funciones definidas para todos los números reales $x$ mediante $$f_1(x) =\sqrt{x^2 + 48}$$ $$f_{k+1}(x) =\sqrt{x^2 + 6f_k(x)}$$ para $k = 1, 2, 3, ...$ Halle, para cada $n = 1, 2, 3, ...,$ todos los números reales $x$ que son soluciones de la ecuación $f_n(x) = 2x$ .

6A Sea $n$ un número positivo, y sea $(a_1, ..., a_n)$ una $n$ - tupla de números reales con $a_1 \le a_2 \le ... \le a_n$ . Investigue si, para estos $a_1, ..., a_n$ dados, existe un número real $x$ tal que el número $$z = |x - a_1| + |x -a_2| + ... + |x - a_n|$$ sea lo más pequeño posible. Si tal $x$ existe, determine todos los números reales $x$ con esta propiedad y establezca el valor mínimo correspondiente de $z$ .

2012.3.3 Sean $BE$ y $CF$ las alturas de un triángulo acutángulo $ABC$. Dos circunferencias que pasan por los puntos $A$ y $F$ son tangentes a la recta $BC$ en los puntos $P$ y $Q$, con $B$ entre $C$ y $Q$. Demuestra que las rectas $PE$ y $QF$ se cortan sobre la circunferencia inscrita en el triángulo $AEF$.