6 Un tablero de $9\times 9$ tiene un número escrito en cada casilla: todas las casillas de la primera fila tienen $1$ , todas las casillas de la segunda fila tienen $2$ , $\ldots$ , todas las casillas de la novena fila tienen $9$ . Llamaremos rectángulo especial a cualquier rectángulo de $2\times 3$ o $3\times 2$ o $4\times 5$ o $5\times 4$ del tablero. Las operaciones permitidas son: $\bullet$ Sumar simultáneamente $1$ a todos los números ubicados en un rectángulo especial. $\bullet$ Restar simultáneamente $1$ a todos los números ubicados en un rectángulo especial. Demuestre que es posible lograr, mediante una sucesión de operaciones permitidas, que $80$ casillas tengan $0$ (cero). ¿Qué número queda en la casilla restante?

1 Sean $a$ , $b$ y $c$ números reales tales que $abc(a+b)(b+c)(c+a)\neq0$ y $(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{1007}{1008}$ Demuestre que $\frac{ab}{(a+c)(b+c)}+\frac{bc}{(b+a)(c+a)}+\frac{ca}{(c+b)(a+b)}=2017$

2 Demuestre que no existe ninguna función $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ tal que : $f(f(n-1)=f(n+1)-f(n)$ , para todo número natural $n\geq2$

4 Se da la función $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ para la cual $f(1)=1$ y para todo $x\in\mathbb{R}$ se cumple $f(x+5)\geq f(x)+5$ y $f(x+1)\leq f(x)+1$ . Si $g(x)=f(x)-x+1$ , halle $g(2016)$ .

5 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $|AB|>|AC|$ . Sea $D$ un punto sobre el lado $AB$ tal que $\angle ACD=\angle CBD$ . Sea $E$ el punto medio del segmento $BD$ y sea $S$ el circuncentro del triángulo $BCD$ . Muestre que los puntos $A,E,S$ y $C$ se encuentran sobre una circunferencia .

5 Dado el triángulo $ABC$ . Sean $P$ , $Q$ , $R$ los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita de $\triangle ABC$ sobre los lados $AB$ , $BC$ , $AC$ , respectivamente. Tomamos la reflexión de estos puntos con respecto a los puntos medios de los lados en los que se encuentran, y los denotamos como $P',Q'$ y $R'$ . Demuestre que $AP'$ , $BQ'$ y $CR'$ son concurrentes.

3 3. Llamemos regular a una tarjeta bi-cuadrada $2 \times 1$ si en ella están escritos dos enteros positivos y el número de la casilla superior es menor que el número de la casilla inferior. En cada movimiento se permite cambiar ambos números de la siguiente manera: o bien sumar el mismo entero (posiblemente negativo) a ambos números, o bien multiplicar cada número por el mismo entero positivo, o bien dividir cada número por el mismo entero positivo. La tarjeta debe permanecer regular después de cualquier cambio realizado. ¿Cuál es el número mínimo de movimientos suficiente para obtener cualquier tarjeta regular a partir de cualquier otra tarjeta regular? Alexey Glebov

3 Halle los números primos $p$ , $q$ , $r$ y $s$ , distintos dos a dos, tales que su suma sea un número primo y los números $p^2+qr$ y $p^2+qs$ sean cuadrados perfectos

4 Sea $S$ un conjunto de $n$ números reales distintos, y $A_S$ el conjunto de las medias aritméticas de dos números distintos de $S$ . Para un $n \geq 2$ dado, halle el número mínimo de elementos de $A_S$

Sean $m$ y $n$ números naturales tales que $m^3-n^3$ es un número primo. ¿Cuál es el residuo del número $m^3-n^3$ al dividirlo entre $6$ ?